Věta o srovnání Sturm-Picone - Sturm–Picone comparison theorem - Wikipedia

v matematika, v oblasti obyčejné diferenciální rovnice, Věta o srovnání Sturm-Picone, pojmenoval podle Jacques Charles François Sturm a Mauro Picone, je klasická věta, která poskytuje kritéria pro kmitání a neoscilace řešení jistých lineární diferenciální rovnice ve skutečné doméně.

Nechat $p i$ , $q i$ $i = 1, 2$ , být spojité funkce na intervalu se skutečnou hodnotou $[A, b]$ a nechte

${ displaystyle (p_ {1} (x) y ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {1} (x) y = 0}$
${ displaystyle (p_ {2} (x) y ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {2} (x) y = 0}$

být dvě homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu v samoadjungovaná forma s

{ displaystyle 0

a

{ displaystyle q_ {1} (x) leq q_ {2} (x).}

Nechat $u$ být netriviální řešení (1) s postupnými kořeny v $z 1$ a $z 2$ a nechte $proti$ být netriviální řešení (2). Pak platí jedna z následujících vlastností.

Existuje $X$ v $(z 1, z 2)$ takhle $proti (X) = 0;$ nebo
existuje a $λ$ v $R$ takhle $proti (X) = λ u (X)$ .

Za první část závěru stojí Sturm (1836),^[1] zatímco druhá (alternativní) část věty je způsobena Piconem (1910)^[2]^[3] jehož jednoduchý důkaz byl poskytnut pomocí jeho nyní slavného Picone identity. Ve zvláštním případě, kdy jsou obě rovnice stejné, získá se Věta o Sturmově oddělení.^[4]

Poznámky

^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
^ M. Picone, Sui valori Eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione difenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.
^ Hinton, D. (2005). „Sturmova oscilace 1836 vede k vývoji teorie“. Teorie Sturm-Liouville. s. 1–1. doi:10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1.
^ Pro rozšíření této důležité věty na srovnávací větu zahrnující tři nebo více reálných rovnic druhého řádu viz Věta o srovnání Hartman-Mingarelli kde byl poskytnut jednoduchý důkaz pomocí Mingarelliho identita

Reference

Diaz, J. B .; McLaughlin, Joyce R. Sturmovy věty o srovnání pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Býk. Amer. Matematika. Soc. 75 1969 335–339 pdf
Heinrich Guggenheimer (1977) Použitelná geometrie, strana 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Teschl, G. (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-8328-0.

[1] C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186

[2] M. Picone, Sui valori Eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione difenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.

[3] Hinton, D. (2005). „Sturmova oscilace 1836 vede k vývoji teorie“. Teorie Sturm-Liouville. s. 1–1. doi:10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1.

[4] Pro rozšíření této důležité věty na srovnávací větu zahrnující tři nebo více reálných rovnic druhého řádu viz Věta o srovnání Hartman-Mingarelli kde byl poskytnut jednoduchý důkaz pomocí Mingarelliho identita

[1]

[2]

[3]

[4]