Mingarelliho identita - Mingarelli identity

V oblasti obyčejné diferenciální rovnice, Mingarelliho identita^[1] je věta, která poskytuje kritéria pro kmitání a neoscilace řešení některých lineární diferenciální rovnice ve skutečné doméně. Rozšiřuje Picone identity od dvou do tří nebo více diferenciálních rovnic druhého řádu.

Identita

Zvažte $n$ řešení následujícího (nespojeného) systému lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu nad $t$ -interval $[A, b]$ :

{ displaystyle (p_ {i} (t) x_ {i} ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {i} (t) x_ {i} = 0, , , , , , , , , , , x_ {i} (a) = 1, , , x_ {i} ^ { prime} (a) = R_ {i}}

kde

{ displaystyle i = 1,2, ldots, n}

.

Nechat ${ displaystyle Delta}$ označte operátor rozdílového forwardu, tj.

{ displaystyle Delta x_ {i} = x_ {i + 1} -x_ {i}.}

Operátor rozdílu druhého řádu je nalezen iterací operátoru prvního řádu jako v

{ displaystyle Delta ^ {2} (x_ {i}) = Delta ( Delta x_ {i}) = x_ {i + 2} -2x_ {i + 1} + x_ {i},}

,

s podobnou definicí pro vyšší iteráty. Vynechání nezávislé proměnné $t$ pro pohodlí a za předpokladu, že $X i (t) \neq 0$ na $(A, b]$ , existuje identita,^[2]

{ displaystyle { begin {aligned} x_ {n-1} ^ {2} Delta ^ {n-1} (p_ {1} r_ {1})] _ {a} ^ {b} & = int _ {a} ^ {b} (x_ {n-1} ^ { prime}) ^ {2} Delta ^ {n-1} (p_ {1}) - int _ {a} ^ {b} x_ {n-1} ^ {2} Delta ^ {n-1} (q_ {1}) - součet _ {k = 0} ^ {n-1} C (n-1, k) (- 1 ) ^ {nk-1} int _ {a} ^ {b} p_ {k + 1} W ^ {2} (x_ {k + 1}, x_ {n-1}) / x_ {k + 1} ^ {2}, end {zarovnáno}}}

kde

${ displaystyle r_ {i} = x_ {i} ^ { prime} / x_ {i}}$ je logaritmická derivace,
${ displaystyle W (x_ {i}, x_ {j}) = x_ {i} ^ { prime} x_ {j} -x_ {i} x_ {j} ^ { prime}}$ , je Wronskian determinant,
${ displaystyle C (n-1, k)}$ jsou binomické koeficienty.

Když $n = 2$ tato rovnost se snižuje na Picone identity.

Aplikace

Výše uvedená identita rychle vede k následující srovnávací větě pro tři lineární diferenciální rovnice,^[3] což rozšiřuje klasiku Věta o srovnání Sturm-Picone.

Nechat $str i$ , $q i$ $i = 1, 2, 3$ , být skutečnými hodnotami spojitých funkcí na intervalu $[A, b]$ a nechte

${ displaystyle (p_ {1} (t) x_ {1} ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {1} (t) x_ {1} = 0, , , , , , , , , , , x_ {1} (a) = 1, , , x_ {1} ^ { prime} (a) = R_ {1}}$
${ displaystyle (p_ {2} (t) x_ {2} ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {2} (t) x_ {2} = 0, , , , , , , , , , , x_ {2} (a) = 1, , , x_ {2} ^ { prime} (a) = R_ {2}}$
${ displaystyle (p_ {3} (t) x_ {3} ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {3} (t) x_ {3} = 0, , , , , , , , , , , x_ {3} (a) = 1, , , x_ {3} ^ { prime} (a) = R_ {3}}$

být tři homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu v samoadjungovaná forma, kde

$str i (t) > 0$ pro každého $i$ a pro všechny $t$ v $[A, b]$ , a
the $R i$ jsou libovolná reálná čísla.

Předpokládejme, že za všechny $t$ v $[A, b]$ my máme,

{ displaystyle Delta ^ {2} (q_ {1}) geq 0}

,

{ displaystyle Delta ^ {2} (p_ {1}) leq 0}

,

{ displaystyle Delta ^ {2} (p_ {1} (a) R_ {1}) leq 0}

.

Pak, pokud $X 1 (t) > 0$ na $[A, b]$ a $X 2 (b) = 0$ , pak jakékoli řešení $X 3 (t)$ má alespoň jednu nulu v $[A, b]$ .

Poznámky

^ Místo bylo vytvořeno Philip Hartman, podle Clark D.N., G. Pecelli a R. Sacksteder (1981)
^ (Mingarelli 1979, str. 223).
^ (Mingarelli 1979, Věta 2).

Reference

Clark D.N .; G. Pecelli & R. Sacksteder (1981). Příspěvky k analýze a geometrii. Baltimore, USA: Johns Hopkins University Press. str. ix + 357. ISBN 0-80182-779-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Mingarelli, Angelo B. (1979). „Některá rozšíření věty Sturm – Picone“. Comptes Rendus Mathématique. Toronto, Ontario, Kanada: The Royal Society of Canada. 1 (4): 223–226.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[Hartman-1] Místo bylo vytvořeno Philip Hartman, podle Clark D.N., G. Pecelli a R. Sacksteder (1981)

[Mingarelli.223-2] (Mingarelli 1979, str. 223).

[Mingarelli.th2-3] (Mingarelli 1979, Věta 2).

[1]

[2]

[3]