Věta o Sturmově oddělení - Sturm separation theorem

Nuly dvou lineárně nezávislých řešení Vzdušná rovnice ${displaystyle y '' - xy = 0}$ alternativní, jak předpovídá Sturmova věta o oddělení.

v matematika, v oblasti obyčejné diferenciální rovnice, Věta o Sturmově oddělení, pojmenoval podle Jacques Charles François Sturm, popisuje umístění kořenů řešení homogenní druhá objednávka lineární diferenciální rovnice. Věta v podstatě říká, že vzhledem ke dvěma lineárním nezávislým řešením takové rovnice se nuly obou řešení střídají.

Věta o Sturmově oddělení

Vzhledem k homogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu a dvěma spojitým lineárním nezávislým řešením u(X) a proti(X) s X₀ a X₁ po sobě jdoucí kořeny u(X), pak proti(X) má v otevřeném intervalu právě jeden kořen (X₀, X₁). Jedná se o speciální případ Sturm-Piconeova věta o srovnání.

Důkaz

Od té doby ${displaystyle displaystyle u}$ a ${displaystyle displaystyle v}$ jsou lineárně nezávislé, z toho vyplývá, že Wronskian ${displaystyle displaystyle W [u, v]}$ musí uspokojit ${displaystyle W [u, v] (x) ekvivalent W (x) ekv. 0}$ pro všechny ${displaystyle displaystyle x}$ kde je definována diferenciální rovnice, řekněme ${displaystyle displaystyle I}$. Předpokládejme, že bez ztráty obecnosti ${displaystyle W (x) <0 {mbox {}} pro všechny {mbox {}} xin I}$. Pak

${displaystyle u (x) v '(x) -u' (x) v (x) eq 0.}$

Takže na ${displaystyle displaystyle x = x_ {0}}$

${displaystyle W (x_ {0}) = - u'left (x_ {0} ight) vleft (x_ {0} ight)}$

a buď ${displaystyle u'left (x_ {0} ight)}$ a ${displaystyle vleft (x_ {0} ight)}$ jsou oba pozitivní nebo oba negativní. Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že jsou oba pozitivní. Nyní, v ${displaystyle displaystyle x = x_ {1}}$

${displaystyle W (x_ {1}) = - u'left (x_ {1} ight) vleft (x_ {1} ight)}$

a od té doby ${displaystyle displaystyle x = x_ {0}}$ a ${displaystyle displaystyle x = x_ {1}}$ jsou postupné nuly ${displaystyle displaystyle u (x)}$ to způsobuje ${displaystyle u'left (x_ {1} ight) <0}$. Tedy zachovat ${displaystyle displaystyle W (x) <0}$ musíme ${displaystyle vleft (x_ {1} ight) <0}$. Vidíme to pozorováním, že pokud ${displaystyle displaystyle u '(x)> 0 {mbox {}} celkem {mbox {}} xin vlevo (x_ {0}, x_ {1} ight]}$ pak ${displaystyle displaystyle u (x)}$ se bude zvyšovat (směrem od ${displaystyle displaystyle x}$-axis), což by nikdy nevedlo k nule při ${displaystyle displaystyle x = x_ {1}}$. Takže k nule dojde v ${displaystyle displaystyle x = x_ {1}}$ nejvíce ${displaystyle u'left (x_ {1} ight) = 0}$ (tj., ${displaystyle u'left (x_ {1} ight) leq 0}$ a ukázalo se, podle našeho výsledku z Wronskian že ${displaystyle u'left (x_ {1} ight) leq 0}$). Takže někde v intervalu ${displaystyle left (x_ {0}, x_ {1} ight)}$ znamení ${displaystyle displaystyle v (x)}$ změněno. Podle Věta o střední hodnotě tady existuje ${displaystyle x ^ {*} vlevo (x_ {0}, x_ {1} vpravo)}$ takhle ${displaystyle vleft (x ^ {*} ight) = 0}$.

Na druhou stranu může být pouze jedna nula ${displaystyle left (x_ {0}, x_ {1} ight)}$, protože jinak by v měl dvě nuly a mezi nimi by žádné nuly nebyly a jen se dokázalo, že je to nemožné.

Reference

• Teschl, G. (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-8328-0.