Strukturní faktor - Structure factor

v fyzika kondenzovaných látek a krystalografie, faktor statické struktury (nebo strukturní faktor ve zkratce) je matematický popis toho, jak materiál rozptyluje dopadající záření. Faktor struktury je kritickým nástrojem při interpretaci vzorů rozptylu (interferenční vzory ) získané v rentgen, elektron a neutron difrakce experimenty.

Matoucí je, že se používají dva různé matematické výrazy, obě nazývané „strukturní faktor“. Jeden je obvykle psaný ${displaystyle S (mathbf {q})}$; je obecněji platný a spojuje pozorovanou difrakční intenzitu na atom s intenzitou produkovanou jedinou rozptylovou jednotkou. Druhý je obvykle psán ${displaystyle F}$ nebo ${displaystyle F_ {hkell}}$ a platí pouze pro systémy s polohovým řádem dlouhého dosahu - krystaly. Tento výraz souvisí s amplitudou a fází paprsku ohýbaného paprskem ${displaystyle (hkell)}$ roviny krystalu (${displaystyle (hkell)}$ jsou Millerovy indexy rovin) k tomu, které produkuje jediná rozptylová jednotka na vrcholech primitivní jednotková buňka. ${displaystyle F_ {hkell}}$ není zvláštní případ ${displaystyle S (mathbf {q})}$; ${displaystyle S (mathbf {q})}$ dává intenzitu rozptylu, ale ${displaystyle F_ {hkell}}$ dává amplitudu. Je to čtvercový modul ${displaystyle | F_ {hkell} | ^ {2}}$ což dává intenzitu rozptylu. ${displaystyle F_ {hkell}}$ je definován pro dokonalý krystal a používá se v krystalografii, zatímco ${displaystyle S (mathbf {q})}$ je nejužitečnější pro neuspořádané systémy. Pro částečně objednané systémy jako např krystalické polymery zjevně se překrývá a odborníci podle potřeby přepnou z jednoho výrazu na druhý.

Faktor statické struktury se měří bez řešení energie rozptýlených fotonů / elektronů / neutronů. Energeticky rozlišená měření vedou k činitel dynamické struktury Odraz v krystalové mřížce je popsán pomocí vzájemných bodů mřížky.

Odvození ${displaystyle S (mathbf {q})}$

Zvažte rozptyl paprsku vlnové délky ${displaystyle lambda}$ shromážděním ${displaystyle N}$ částice nebo atomy stacionární v pozicích ${displaystyle extstyle mathbf {R} _ {j}, j = 1,, ldots ,, N}$. Předpokládejme, že rozptyl je slabý, takže amplituda dopadajícího paprsku je konstantní v celém objemu vzorku (Narozená aproximace ) a absorpci, lom a vícenásobný rozptyl lze zanedbávat (kinematická difrakce ). Směr jakékoli rozptýlené vlny je definován jejím rozptylovým vektorem ${displaystyle mathbf {q}}$. ${displaystyle mathbf {q} = mathbf {k_ {s}} -mathbf {k_ {o}}}$, kde ${displaystyle mathbf {k_ {s}}}$ a ${displaystyle mathbf {k_ {o}}}$ ( ${displaystyle | mathbf {k_ {s}} | = | mathbf {k_ {0}} | = 2pi / lambda}$) jsou rozptýlený a dopadající paprsek vlnové vektory, a ${displaystyle heta}$ je úhel mezi nimi. Pro pružný rozptyl, ${displaystyle | mathbf {k} _ {s} | = | mathbf {k_ {o}} |}$ a ${displaystyle q = | mathbf {q} | = {{frac {4pi} {lambda}} hřích (heta / 2)}}$, což omezuje možný rozsah ${displaystyle mathbf {q}}$ (vidět Ewaldova koule ). Amplituda a fáze této rozptýlené vlny bude vektorovým součtem rozptýlených vln ze všech atomů ${displaystyle Psi _ {s} (mathbf {q}) = součet _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {j}} }$ ^[1][2]

Pro shromáždění atomů ${displaystyle f_ {j}}$ je atomový tvarový faktor z ${displaystyle j}$-tý atom. Rozptýlená intenzita se získá vynásobením této funkce jejím komplexním konjugátem

${displaystyle I (mathbf {q}) = Psi _ {s} (mathbf {q}) imes Psi _ {s} ^ {*} (mathbf {q}) = součet _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {j}} je součet _ {k = 1} ^ {N} f_ {k} mathrm {e} ^ {imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {k}} = součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} f_ {k} mathrm {e} ^ {- imathbf { q} cdot (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})}}$

(1)

Faktor struktury je definován jako tato intenzita normalizovaná pomocí ${displaystyle 1 / sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}$ ^[3]

${displaystyle S (mathbf {q}) = {frac {1} {sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} f_ {k} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})}}$

(2)

Pokud jsou všechny atomy stejné, pak rovnice (1) se stává ${displaystyle I (mathbf {q}) = f ^ {2} součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot ( mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})}}$ a ${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2} = Nf ^ {2}}$ tak

${displaystyle S (mathbf {q}) = {frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf { q} cdot (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})}}$

(3)

Dalším užitečným zjednodušením je, pokud je materiál izotropní, jako je prášek nebo jednoduchá kapalina. Intenzita pak závisí na ${displaystyle q = | mathbf {q} |}$ a ${displaystyle r_ {jk} = | mathbf {r} _ {j} -mathbf {r} _ {k} |}$ a rovnice (2) zjednodušuje Debyeovu rozptylovou rovnici:^[1]

${displaystyle S (mathbf {q}) = {frac {1} {sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} f_ {k} {frac {sin (qr_ {jk})} {qr_ {jk}}}}$

(4)

Alternativní derivace poskytuje dobrý vhled, ale používá Fourierovy transformace a konvoluce. Chcete-li být obecní, zvažte skalární (skutečné) množství ${displaystyle phi (mathbf {r})}$ definované ve svazku ${displaystyle V}$; to může odpovídat například distribuci hmotnosti nebo náboje nebo indexu lomu nehomogenního média. Pokud je skalární funkce integrovatelná, můžeme napsat její Fourierova transformace tak jako ${displaystyle extstyle psi (mathbf {q}) = int _ {V} phi (mathbf {r}) exp (-imathbf {q} cdot mathbf {r}), mathrm {d} mathbf {r}}$. V Narozená aproximace amplituda rozptýlené vlny odpovídající vektoru rozptylu ${displaystyle mathbf {q}}$ je úměrná Fourierově transformaci ${displaystyle extstyle psi (mathbf {q})}$.^[1] Když se studovaný systém skládá z čísla ${displaystyle N}$ stejných složek (atomy, molekuly, koloidní částice atd.), z nichž každá má distribuci hmoty nebo náboje ${displaystyle f (mathbf {r})}$ pak celkovou distribuci lze považovat za konvoluci této funkce se sadou delta funkce.

${displaystyle phi (mathbf {r}) = součet _ {j = 1} ^ {N} f (mathbf {r} -mathbf {R} _ {j}) = f (mathbf {r}) ast součet _ {j = 1} ^ {N} delta (mathbf {r} -mathbf {R} _ {j}),}$

(5)

s ${displaystyle extstyle mathbf {R} _ {j}, j = 1,, ldots ,, N}$ polohy částic jako dříve. Pomocí vlastnosti, že Fourierova transformace konvolučního produktu je jednoduše produktem Fourierových transformací dvou faktorů, máme ${displaystyle extstyle psi (mathbf {q}) = f (mathbf {q}) je součet _ {j = 1} ^ {N} exp (-imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {j})}$, aby:

${displaystyle I (mathbf {q}) = left | f (mathbf {q} )ight | ^ {2} imes left (sum _ {j = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {j}} ight) zbývá vlevo (součet _ {k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {k}} ight) = vlevo | f (mathbf {q}) ight | ^ {2} součet _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})}.}$

(6)

To je zjevně stejné jako rovnice (1) se všemi částicemi identickými, kromě zde ${displaystyle f}$ je zobrazen výslovně jako funkce ${displaystyle mathbf {q}}$.

Obecně nejsou polohy částic pevné a měření probíhá po konečnou dobu expozice as makroskopickým vzorkem (mnohem větším, než je mezičásticová vzdálenost). Experimentálně přístupná intenzita je tedy průměrovaná ${displaystyle extstyle langle I (mathbf {q}) úhel}$; nemusíme specifikovat, zda ${displaystyle langle cdot angle}$ označuje čas nebo průměr souboru. Abychom to vzali v úvahu, můžeme přepsat rovnici (3) tak jako:

${displaystyle S (mathbf {q}) = {frac {1} {N}} součet levého úhlu _ {j = 1} ^ {N} součet _ {k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})} ightangle.}$

(7)

Dokonalé krystaly

V krystal, konstitutivní částice jsou uspořádány periodicky, s translační symetrie formování a mříž. Krystalovou strukturu lze popsat jako a Bravaisova mříž se skupinou atomů, nazývanou základ, umístěnou v každém bodě mřížky; tj. [krystalová struktura] = [mřížka] ${displaystyle ast}$ [základ]. Pokud je mřížka nekonečná a zcela pravidelná, systém je a dokonalý krystal. U takového systému pouze soubor konkrétních hodnot pro ${displaystyle mathbf {q}}$ může dát rozptyl a amplituda rozptylu pro všechny ostatní hodnoty je nulová. Tato sada hodnot tvoří mřížku zvanou reciproční mříž, což je Fourierova transformace krystalové mřížky reálného prostoru.

V zásadě je to faktor rozptylu ${displaystyle S (mathbf {q})}$ lze použít k určení rozptylu z dokonalého krystalu; v jednoduchém případě, kdy základem je jeden atom na počátku (a opět zanedbáním veškerého tepelného pohybu, takže není třeba průměrovat), mají všechny atomy identické prostředí. Rovnice (1) lze psát jako

${displaystyle I (mathbf {q}) = f ^ {2} vlevo | součet _ {j = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot mathbf {R} _ {j}} večer | ^ {2}}$ a ${displaystyle S (mathbf {q}) = {frac {1} {N}} vlevo | součet _ {j = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} cdot mathbf {R} _ { j}} hned | ^ {2}}$.

Faktor struktury je pak jednoduše druhou mocninou modulu Fourierova transformace mřížky a ukazuje směry, ve kterých může mít rozptyl nenulovou intenzitu. Při těchto hodnotách ${displaystyle mathbf {q}}$ vlna z každého mřížového bodu je ve fázi. Hodnota faktoru struktury je pro všechny tyto vzájemné mřížové body stejná a intenzita se mění pouze v důsledku změn v ${displaystyle f}$ s ${displaystyle mathbf {q}}$.

Jednotky

Jednotky amplitudy strukturního faktoru závisí na dopadajícím záření. Pro rentgenovou krystalografii jsou to násobky rozptylové jednotky jediným elektronem (2,82${displaystyle imes 10 ^ {- 15}}$ m); pro rozptyl neutronů atomovými jádry jednotka délky rozptylu ${displaystyle 10 ^ {- 14}}$ m se běžně používá.

Výše uvedená diskuse používá vlnové vektory ${displaystyle | mathbf {k} | = 2pi / lambda}$ a ${displaystyle | mathbf {q} | = 4pi sin heta / lambda}$. Krystalografie však často používá vlnové vektory ${displaystyle | mathbf {s} | = 1 / lambda}$ a ${displaystyle | mathbf {g} | = 2sin heta / lambda}$. Proto při porovnávání rovnic z různých zdrojů je faktor ${displaystyle 2pi}$ se mohou objevit a zmizet a pro získání správných číselných výsledků je nutná péče o zachování konzistentních množství.

Definice ${displaystyle F_ {hkell}}$

V krystalografii se základ a mřížka zpracovávají odděleně. Pro dokonalý krystal dává mřížka reciproční mříž, který určuje polohy (úhly) rozptýlených paprsků a základ udává strukturní faktor ${displaystyle F_ {hkl}}$ který určuje amplitudu a fázi rozptýlených paprsků:

${displaystyle F_ {hkell} = součet _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} mathrm {e} ^ {[- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ {j})] },}$

(8)

kde součet přesahuje všechny atomy v jednotkové buňce, ${displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j}}$ jsou polohové souřadnice ${displaystyle j}$-tý atom a ${displaystyle f_ {j}}$ je rozptylový faktor ${displaystyle j}$-tý atom.^[4] Souřadnice ${displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j}}$ mít směry a rozměry mřížových vektorů ${displaystyle mathbf {a}, mathbf {b}, mathbf {c}}$. To znamená, že (0,0,0) je v mřížkovém bodě, počátek polohy v jednotkové buňce; (1,0,0) je v dalším mřížovém bodě ${displaystyle mathbf {a}}$ a (1/2, 1/2, 1/2) je ve středu těla jednotkové buňky. ${displaystyle (hkl)}$ definuje a reciproční mříž Ukaž na ${displaystyle (hmathbf {a ^ {*}}, kmathbf {b ^ {*}}, lmathbf {c ^ {*}})}$ což odpovídá rovině reálného prostoru definované pomocí Millerovy indexy ${displaystyle (hkl)}$ (vidět Braggův zákon ).

${displaystyle F_ {hkell}}$ je vektorový součet vln ze všech atomů v jednotkové buňce. Atom v kterémkoli bodě mřížky má referenční fázový úhel nula pro všechny ${displaystyle hkell}$ od té doby ${displaystyle (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ {j})}$ je vždy celé číslo. Vlna rozptýlená z atomu v (1/2, 0, 0) bude ve fázi if ${displaystyle h}$ je dokonce, mimo fázi, pokud ${displaystyle h}$ je zvláštní.

Opět může být užitečný alternativní pohled pomocí konvoluce. Protože [krystalová struktura] = [mřížka] ${displaystyle ast}$ [základ], ${displaystyle {mathcal {F}}}$[krystalová struktura] = ${displaystyle {mathcal {F}}}$[mřížka] ${displaystyle imes {mathcal {F}}}$[základ]; to znamená rozptyl ${displaystyle propto}$ [vzájemná mřížka] ${displaystyle imes}$ [strukturní faktor].

Příklady ${displaystyle F_ {hkell}}$ ve 3-D

Body-centered cubic (BCC)

Pro kubickou mřížku Bravais zaměřenou na tělo (cI), použijeme body ${displaystyle (0,0,0)}$ a ${displaystyle ({frac {1} {2}}, {frac {1} {2}}, {frac {1} {2}})}$ což nás vede k

${displaystyle F_ {hkell} = součet _ {j} f_ {j} e ^ {- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ {j})} = fleft [1 + vlevo (e ^ { -ipi} ight) ^ {h + k + ell} ight] = letka [1 + (- 1) ^ {h + k + ell} ight]}$

a tudíž

${displaystyle F_ {hkell} = {egin {cases} 2f, & h + k + ell = {ext {even}} 0, & h + k + ell = {ext {odd}} end {cases}}}$

Obličejově centrovaný kubický (FCC)

The FCC mřížka je Bravaisova mřížka a její Fourierova transformace je kubická mřížka zaměřená na tělo. Nicméně získat ${displaystyle F_ {hkell}}$ bez této zkratky považujte FCC krystal s jedním atomem v každém bodě mřížky za primitivní nebo jednoduchou kubiku se základem 4 atomů, na počátku ${displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = (0,0,0)}$ a ve třech sousedních středech obličeje, ${displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = vlevo ({frac {1} {2}}, {frac {1} {2}}, 0ight)}$, ${displaystyle left (0, {frac {1} {2}}, {frac {1} {2}} ight)}$ a ${displaystyle left ({frac {1} {2}}, 0, {frac {1} {2}} ight)}$. Rovnice (8) se stává

${displaystyle F_ {hkell} = fsum _ {j = 1} ^ {4} mathrm {e} ^ {[- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ {j})]} = fleft [ 1 + mathrm {e} ^ {[- ipi (h + k)]} + mathrm {e} ^ {[- ipi (k + ell)]} + mathrm {e} ^ {[- ipi (h + ell) ]} ight] = letka [1 + (- 1) ^ {h + k} + (- 1) ^ {k + ell} + (- 1) ^ {h + ell} ight]}$

s výsledkem

${displaystyle F_ {hkell} = {egin {cases} 4f, & h, k, ell {mbox {all even or all odd}} 0, & h, k, ell {mbox {mixed parity}} end {cases}}}$

Nejintenzivnější difrakční pík z materiálu, který krystalizuje ve struktuře FCC, je obvykle (111). Filmy z materiálů FCC jako zlato mají tendenci růst v orientaci (111) s trojúhelníkovou povrchovou symetrií. Nulová difrakční intenzita pro skupinu difrakčních paprsků (zde ${displaystyle h, k, ell}$ smíšené parity) se nazývá systematická absence.

Struktura diamantového krystalu

The diamant krychlový nastává například krystalová struktura diamant (uhlík ), cín a většina polovodiče. V kubické jednotce je 8 atomů. Můžeme považovat strukturu za jednoduchou kubiku se základnou 8 atomů, na pozicích

${displaystyle {egin {aligned} x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = & (0, 0, 0) & left ({frac {1} {2}}, {frac {1} {2} }, 0ight) & left (0, {frac {1} {2}}, {frac {1} {2}} ight) & left ({frac {1} {2}}, 0, {frac {1} {2 }} ight) & left ({frac {1} {4}}, {frac {1} {4}}, {frac {1} {4}} ight) & left ({frac {3} {4}}, {frac {3} {4}}, {frac {1} {4}} vpravo) a vlevo ({frac {1} {4}}, {frac {3} {4}}, {frac {3} {4 }} ight) & left ({frac {3} {4}}, {frac {1} {4}}, {frac {3} {4}} ight) end {aligned}}}$

Ale ve srovnání s výše uvedeným FCC vidíme, že je jednodušší popsat strukturu jako FCC se základem dvou atomů v (0, 0, 0) a (1/4, 1/4, 1/4). Z tohoto důvodu rovnice (8) se stává:

${displaystyle F_ {hkell} ({m {{base}) = fsum _ {j = 1} ^ {2} mathrm {e} ^ {[- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ { j})]} = fleft [1 + mathrm {e} ^ {[- ipi / 2 (h + k + ell)]} ight] = fleft [1 + (- i) ^ {h + k + ell} ight ]}}}$

A pak je strukturní faktor pro diamantovou kubickou strukturu výsledkem tohoto a strukturního faktoru pro FCC výše (pouze s atomovým tvarovým faktorem jednou)

${displaystyle F_ {hkell} = fleft [1 + (- 1) ^ {h + k} + (- 1) ^ {k + ell} + (- 1) ^ {h + ell} ight] zbývá [1+ (-i) ^ {h + k + ell} ight]}$

s výsledkem

• Pokud h, k, ℓ mají smíšenou paritu (liché a sudé hodnoty dohromady), je první (FCC) člen nula, takže ${displaystyle | F_ {hkell} | ^ {2} = 0}$
• Pokud jsou h, k, all všechny sudé nebo liché, pak první člen (FCC) je 4
  • pokud h + k + ℓ je liché, pak ${displaystyle F_ {hkell} = 4f (1pm i), | F_ {hkell} | ^ {2} = 32f ^ {2}}$
  • pokud h + k + ℓ je sudé a přesně dělitelné 4 (${displaystyle h + k + ell = 4n}$) pak ${displaystyle F_ {hkell} = 4f imes 2, | F_ {hkell} | ^ {2} = 64f ^ {2}}$
  • pokud h + k + + je sudé, ale není přesně dělitelné 4 (${displaystyle h + k + ell eq 4n}$) druhý člen je nula a ${displaystyle | F_ {hkell} | ^ {2} = 0}$

Tyto body jsou zapouzdřeny následujícími rovnicemi:

${displaystyle F_ {hkell} = {egin {cases} 8f, & h + k + ell = 4N 4 (1pm i) f, & h + k + ell = 2N + 1 0, & h + k + ell = 4N + 2 end {případy}}}$

${displaystyle Rightarrow | F_ {hkell} | ^ {2} = {egin {cases} 64f ^ {2}, & h + k + ell = 4N 32f ^ {2}, & h + k + ell = 2N + 1 0 , & h + k + ell = 4N + 2 end {cases}}}$

kde ${displaystyle N}$ je celé číslo.

Krystalická struktura zinku

Struktura zinkublende je podobná struktuře diamantu, až na to, že jde o sloučeninu dvou odlišných vzájemně se prostupujících mřížek fcc, nikoli o všechny stejné prvky. Označení dvou prvků ve sloučenině pomocí ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$, výsledný strukturní faktor je

${displaystyle F_ {hkell} = {egin {cases} 4 (f_ {A} + f_ {B}), & h + k + ell = 4N 4 (f_ {A} pm if_ {B}), & h + k + ell = 2N + 1 4 (f_ {A} -f_ {B}), & h + k + ell = 4N + 2 end {případy}}}$

Chlorid cesný

Chlorid cesný je jednoduchá kubická krystalová mřížka se základem Cs na (0,0,0) a Cl na (1/2, 1/2, 1/2) (nebo naopak, nezáleží na tom). Rovnice (8) se stává

${displaystyle F_ {hkell} = součet _ {j = 1} ^ {2} f_ {j} mathrm {e} ^ {[- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + ell z_ {j})] } = left [f_ {Cs} + f_ {Cl} mathrm {e} ^ {[- ipi (h + k + ell)]} ight] = left [f_ {Cs} + f_ {Cl} (- 1) ^ {h + k + ell} ight]}$

Poté jsme dospěli k následujícímu výsledku pro strukturní faktor pro rozptyl z roviny ${displaystyle (hkell)}$:

${displaystyle F_ {hkell} = {egin {cases} (f_ {Cs} + f_ {Cl}), & h + k + ell & {ext {even}} (f_ {Cs} -f_ {Cl}), & h + k + ell & {ext {odd}} end {cases}}}$

a pro rozptýlenou intenzitu, ${displaystyle | F_ {hkell} | ^ {2} = {egin {cases} (f_ {Cs} + f_ {Cl}) ^ {2}, & h + k + ell & {ext {even}} (f_ { Cs} -f_ {Cl}) ^ {2}, & h + k + ell & {ext {odd}} end {cases}}}$

Šestihranný uzavřený (HCP)

V krystalu HCP, jako je grafit, tyto dvě souřadnice zahrnují počátek ${displaystyle left (0,0,0ight)}$ a další letadlo nahoru C osa umístěna na C/ 2, a tedy ${displaystyle left (1 / 3,2 / 3,1 / 2ight)}$, což nám dává

${displaystyle F_ {hkell} = fleft [1 + e ^ {2pi ileft ({frac {h} {3}} + {frac {2k} {3}} + {frac {ell} {2}} ight)} včas ]}$

Z toho je vhodné definovat fiktivní proměnnou ${displaystyle Xequiv h / 3 + 2k / 3 + ell / 2}$, a odtud považujte modul na druhou tak tedy

${displaystyle | F | ^ {2} = f ^ {2} vlevo (1 + e ^ {2pi iX} ight) vlevo (1-e ^ {2pi iX} ight) = f ^ {2} vlevo (2 + e ^ {2pi iX} + e ^ {- 2pi iX} ight) = f ^ {2} vlevo (2 + 2cos [2pi X] ight) = f ^ {2} vlevo (4cos ^ {2} vlevo [pi Xight] v noci)}$

To nás vede k následujícím podmínkám pro strukturní faktor:

${displaystyle | F_ {hkell} | ^ {2} = {egin {cases} 0, & h + 2k = 3N {ext {and}} ell {ext {is odd,}} 4f ^ {2}, & h + 2k = 3N {ext {and}} ell {ext {is even,}} 3f ^ {2}, & h + 2k = 3Npm 1 {ext {and}} ell {ext {is odd,}} f ^ {2 }, & h + 2k = 3Npm 1 {ext {and}} ell {ext {is even}} end {cases}}}$

Dokonalé krystaly v jedné a dvou rozměrech

Reciproční mřížka je snadno konstruována v jedné dimenzi: pro částice na linii s tečkou ${displaystyle a}$, reciproční mřížka je nekonečná řada bodů s mezerami ${displaystyle 2pi / a}$. Ve dvou rozměrech je jich jen pět Bravais svazy. Odpovídající vzájemné mřížky mají stejnou symetrii jako přímá mříž. 2D mřížky jsou vynikající pro demonstraci jednoduché difrakční geometrie na ploché obrazovce, jak je uvedeno níže. Rovnice (1) - (7) pro strukturní faktor ${displaystyle S (mathbf {q})}$ platí s vektorem rozptylu omezené rozměrnosti a faktor krystalografické struktury lze definovat ve 2-D jako ${displaystyle F_ {hk} = součet _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} mathrm {e} ^ {[- 2pi i (hx_ {j} + ky_ {j})]}}}$.

Připomeňme si však, že skutečné 2-D krystaly jako např grafen existují v 3-D. Reciproční mřížka 2-D hexagonálního listu, který existuje v 3-D prostoru v ${displaystyle xy}$ rovina je šestihranné pole čar rovnoběžných s ${displaystyle z}$ nebo ${displaystyle z ^ {*}}$ osy, které sahají k ${displaystyle pm infty}$ a protínají jakoukoli rovinu konstanty ${displaystyle z}$ v hexagonálním poli bodů.

Schéma rozptylu čtvercovou (rovinnou) mřížkou. Zobrazuje se dopadající a odcházející paprsek a také vztah mezi jejich vlnovými vektory ${displaystyle mathbf {k} _ {i}}$, ${displaystyle mathbf {k} _ {o}}$ a vektor rozptylu ${displaystyle mathbf {q}}$.

Obrázek ukazuje konstrukci jednoho vektoru 2-D reciproční mřížky a jeho vztah k experimentu rozptylu.

Paralelní paprsek s vlnovým vektorem ${displaystyle mathbf {k} _ {i}}$ je dopad na čtvercovou mřížku parametru ${displaystyle a}$. Rozptýlená vlna je detekována pod určitým úhlem, který definuje vlnový vektor odcházejícího paprsku, ${displaystyle mathbf {k} _ {o}}$ (za předpokladu elastický rozptyl, ${displaystyle | mathbf {k} _ {o} | = | mathbf {k} _ {i} |}$). Rovnoměrně lze definovat vektor rozptylu ${displaystyle mathbf {q} = mathbf {k} _ {o} -mathbf {k} _ {i}}$ a vytvořte harmonický vzor ${displaystyle exp (imathbf {q} mathbf {r})}$. V zobrazeném příkladu se rozestup tohoto vzoru shoduje se vzdáleností mezi řádky částic: ${displaystyle q = 2pi / a}$, takže příspěvky k rozptylu ze všech částic jsou ve fázi (konstruktivní interference). Tedy celkový signál ve směru ${displaystyle mathbf {k} _ {o}}$ je silný a ${displaystyle mathbf {q}}$ patří do vzájemné mřížky. Je snadné ukázat, že tato konfigurace splňuje Braggův zákon.

Faktor struktury periodického řetězce pro různá množství částic ${displaystyle N}$.

Nedokonalé krystaly

Technicky dokonalý krystal musí být nekonečný, takže konečná velikost je nedokonalostí. Skutečné krystaly vždy kromě své konečné velikosti vykazují nedokonalosti svého řádu a tyto nedokonalosti mohou mít zásadní vliv na vlastnosti materiálu. André Guinier ^[5] navrhl široce používaný rozdíl mezi nedokonalostmi, které zachovávají objednávka na velké vzdálenosti krystalu, který nazval porucha prvního druhu a ti, kteří to zničili, volali porucha druhého druhu. Příkladem prvního jsou tepelné vibrace; příkladem druhé je určitá hustota dislokací.

Obecně použitelný strukturní faktor ${displaystyle S (mathbf {q})}$ lze použít k zahrnutí účinku jakékoli nedokonalosti. V krystalografii se s těmito efekty zachází odděleně od strukturního faktoru ${displaystyle F_ {hkl}}$, takže do výrazů pro rozptýlenou intenzitu jsou zavedeny samostatné faktory pro velikost nebo tepelné efekty, přičemž faktor dokonalé krystalové struktury zůstává beze změny. Proto podrobný popis těchto faktorů v modelování krystalografické struktury a určování struktury difrakcí není v tomto článku vhodný.

Účinky konečné velikosti

Pro ${displaystyle S (q)}$ konečný krystal znamená, že součty v rovnicích 1-7 jsou nyní nad konečným ${displaystyle N}$. Efekt je nejsnadněji demonstrován pomocí 1-D mřížky bodů. Součet fázových faktorů je geometrická řada a strukturní faktor se stává:

${displaystyle S (q) = {frac {1} {N}} vlevo | {frac {1-mathrm {e} ^ {- iNqa}} {1-mathrm {e} ^ {- iqa}}} vpravo | ^ {2} = {frac {1} {N}} left [{frac {sin (Nqa / 2)} {sin (qa / 2)}} ight] ^ {2}.}$

Tato funkce je zobrazena na obrázku pro různé hodnoty ${displaystyle N}$Když je rozptyl od každé částice ve fázi, což je, když je rozptyl v reciproční mřížce bodu ${displaystyle q = 2kpi / a}$, součet amplitud musí být ${displaystyle propto N}$ a tak jsou maxima v intenzitě ${displaystyle propto N ^ {2}}$. Vezmeme-li výše uvedený výraz pro ${displaystyle S (q)}$ a odhad limitu ${displaystyle S (q o 0)}$ například pomocí Pravidlo L'Hôpital ) ukázat to ${displaystyle S (q = 2kpi / a) = N}$ jak je vidět na obrázku. Ve středu ${displaystyle S (q = (2k + 1) pi / a) = 1 / N}$ (přímým hodnocením) a šířka píku klesá podobně ${displaystyle 1 / N}$. Ve velkém ${displaystyle N}$ limitu, vrcholy se stanou nekonečně ostrými Diracovými delta funkcemi, reciproční mřížkou dokonalé 1-D mřížky.

V krystalografii, když ${displaystyle F_ {hkl}}$ se používá, ${displaystyle N}$ je velký a účinek formální velikosti na difrakci se bere jako ${displaystyle left [{frac {sin (Nqa / 2)} {(qa / 2)}} ight] ^ {2}}$, který je stejný jako výraz pro ${displaystyle S (q)}$ výše v blízkosti vzájemných mřížových bodů, ${displaystyle q Přibližně 2 kpi / a}$. Pomocí konvoluce můžeme konečnou skutečnou krystalovou strukturu popsat jako [mřížka] ${displaystyle ast}$ [základ]${displaystyle imes}$ obdélníková funkce, kde obdélníková funkce má uvnitř krystalu hodnotu 1 a mimo ni 0. Pak ${displaystyle {mathcal {F}}}$[krystalová struktura] = ${displaystyle {mathcal {F}}}$[mřížka] ${displaystyle imes {mathcal {F}}}$[základ] ${displaystyle ast {F}}$[obdélníková funkce]; to znamená rozptyl ${displaystyle propto}$ [vzájemná mřížka] ${displaystyle imes}$ [strukturní faktor] ${displaystyle ast}$ [ upřímně funkce]. Intenzita, která je delta funkcí polohy dokonalého krystalu, se tak stává a ${extstyle operatorname {sinc} ^ {2}}$ fungují kolem každého bodu s maximem ${displaystyle propto N ^ {2}}$, šířka ${displaystyle propto 1 / N}$, plocha ${displaystyle propto N}$.

Porucha prvního druhu

Tento model poruchy v krystalu začíná strukturním faktorem dokonalého krystalu. V jedné dimenzi pro jednoduchost a s N roviny, začneme výše uvedeným výrazem pro dokonalou konečnou mřížku a pak se tato porucha pouze změní ${displaystyle S (q)}$ multiplikačním faktorem, dát^[1]

${displaystyle S (q) = {frac {1} {N}} left [{frac {sin (Nqa / 2)} {sin (qa / 2)}} ight] ^ {2} exp left (-q ^ { 2} delta langle x ^ {2} úhel svisle)}$

kde porucha je měřena středním čtvercem posunutí pozic ${displaystyle x_ {j}}$ ze svých pozic v dokonalé jednorozměrné mřížce: ${displaystyle a (j- (N-1) / 2)}$, tj., ${displaystyle x_ {j} = a (j- (N-1) / 2) + delta x}$, kde ${displaystyle delta x}$ je malý (mnohem méně než ${displaystyle a}$) náhodné posunutí. U poruchy prvního druhu každý náhodný posun ${displaystyle delta x}$ je nezávislý na ostatních as ohledem na dokonalou mříž. Tedy posunutí ${displaystyle delta x}$ nezničte translační řád krystalu. To má za následek, že pro nekonečné krystaly (${displaystyle N o infty}$) strukturní faktor má stále Braggovy píky s delta-funkcí - šířka píku stále klesá na nulu jako ${displaystyle N o infty}$s tímto druhem poruchy. Snižuje však amplitudu špiček a kvůli faktoru ${displaystyle q ^ {2}}$ v exponenciálním faktoru snižuje vrcholy obecně ${displaystyle q}$ mnohem víc než vrcholy na malém ${displaystyle q}$.

Struktura je jednoduše zmenšena o ${displaystyle q}$ a termín závislý na poruše, protože veškerá porucha prvního druhu dělá stírání rozptylových rovin, čímž účinně snižuje tvarový faktor.

Ve třech rozměrech je účinek stejný, struktura je opět redukována multiplikačním faktorem a tomuto faktoru se často říká Debye – Wallerův faktor. Všimněte si, že Debye-Wallerův faktor se často připisuje tepelnému pohybu, tj ${displaystyle delta x}$ jsou způsobeny tepelným pohybem, ale jakákoli náhodná posunutí o dokonalé mřížce, nejen tepelná, přispějí k Debye-Wallerovu faktoru.

Porucha druhého druhu

Avšak fluktuace, které způsobují snižování korelací mezi páry atomů, jak se zvyšuje jejich separace, způsobují Braggovy vrcholy ve strukturním faktoru krystalu. Abychom zjistili, jak to funguje, vezmeme v úvahu jednorozměrný model hračky: hromadu desek se střední roztečí ${displaystyle a}$. Odvození vyplývá z kapitoly 9 Guinierovy učebnice.^[6] Tento model byl průkopníkem a aplikován na řadu materiálů od Hosemanna a spolupracovníků^[7] po několik let. Guinier a pojmenovali tuto poruchu druhého druhu a zejména Hosemann odkazoval na toto nedokonalé krystalické uspořádání jako parakrystalický objednávání. Porucha prvního druhu je zdrojem Debye – Wallerův faktor.

Pro odvození modelu začneme s definicí (v jedné dimenzi)

${displaystyle S (q) = {frac {1} {N}} součet _ {j, k = 1} ^ {N} mathrm {e} ^ {- iq (x_ {j} -x_ {k})}}$

Začneme tím, že pro jednoduchost budeme uvažovat o nekonečném krystalu, tj. ${displaystyle N o infty}$. Uvažujeme konečný krystal s poruchou druhého typu níže.

Pro náš nekonečný krystal chceme vzít v úvahu dvojice mřížkových míst. Pro velkou každou rovinu nekonečného krystalu existují dva sousedé ${displaystyle m}$ roviny pryč, takže výše uvedený dvojitý součet se stává jediným součtem nad dvojicemi sousedů po obou stranách atomu, na pozicích ${displaystyle -m}$ a ${displaystyle m}$ mřížkové vzdálenosti, časy ${displaystyle N}$. Takže tedy

${displaystyle S (q) = 1 + 2sum _ {m = 1} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} {m {d}} (Delta x) p_ {m} (Delta x) cos left (qDelta xight)}$

kde ${displaystyle p_ {m} (Delta x)}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti pro separaci ${displaystyle Delta x}$ dvojice letadel, ${displaystyle m}$ mřížkové vzdálenosti od sebe. Pro oddělení sousedních rovin předpokládáme pro jednoduchost kolísání kolem středního sousedního rozteče A jsou Gaussian, tj. to

${displaystyle p_ {1} (Delta x) = {frac {1} {left (2pi sigma _ {2} ^ {2} ight) ^ {1/2}}} exp left [-left (Delta x-aight) ^ {2} / (2sigma _ {2} ^ {2}) vpravo]}$

a také předpokládáme, že fluktuace mezi rovinou a jejím sousedem a mezi tímto sousedem a další rovinou jsou nezávislé. Pak ${displaystyle p_ {2} (Delta x)}$ je jen konvoluce dvou ${displaystyle p_ {1} (Delta x)}$s atd. Protože konvoluce dvou Gaussianů je jen další Gaussian, máme to

${displaystyle p_ {m} (Delta x) = {frac {1} {left (2pi msigma _ {2} ^ {2} ight) ^ {1/2}}} exp left [-left (Delta x-maight) ^ {2} / (2msigma _ {2} ^ {2}) ight]}$

Součet v ${displaystyle S (q)}$ je pak jen součet Fourierových transformací Gaussianů atd

${displaystyle S (q) = 1 + 2sum _ {m = 1} ^ {infty} r ^ {m} cos left (mqaight)}$

pro ${displaystyle r = exp [-q ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} / 2]}$. Součet je pouze skutečnou částí součtu ${displaystyle sum _ {m = 1} ^ {infty} [rexp (iqa)] ^ {m}}$ a tak je strukturní faktor nekonečného, ​​ale neuspořádaného krystalu

${displaystyle S (q) = {frac {1-r ^ {2}} {1 + r ^ {2} -2rcos (qa)}}}$

To má maxima maxima ${displaystyle q_ {p} = 2 npi / a}$, kde ${displaystyle cos (q_ {P} a) = 1}$. Tyto vrcholy mají výšky

${displaystyle S (q_ {P}) = {frac {1 + r} {1-r}} přibližně {frac {4} {q_ {P} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2}}} = {frac {a ^ {2}} {n ^ {2} pi ^ {2} sigma _ {2} ^ {2}}}}$

tj. výška po sobě jdoucích vrcholů klesá jako pořadí vrcholu (a tak dále ${displaystyle q}$) na druhou. Na rozdíl od efektů konečné velikosti, které rozšiřují vrcholy, ale nesnižují jejich výšku, porucha snižuje výšky vrcholů. Všimněte si, že zde předpokládáme, že porucha je relativně slabá, takže stále máme relativně dobře definované vrcholy. To je limit ${displaystyle qsigma _ {2} ll 1}$, kde ${displaystyle rsimeq 1-q ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} / 2}$. V tomto limitu, poblíž vrcholu, se můžeme přiblížit ${displaystyle cos (qa) simeq 1- (Delta q) ^ {2} a ^ {2} / 2}$, s${displaystyle Delta q = q-q_ {P}}$ a získat

${displaystyle S (q) cca {frac {S (q_ {P})} {1+ {frac {r} {(1-r) ^ {2}}} {frac {Delta q ^ {2} a ^ { 2}} {2}}}} přibližně {frac {S (q_ {P})} {1+ {frac {Delta q ^ {2}} {[q_ {P} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} / a] ^ {2} / 2}}}}}$

což je Lorentzianova nebo Cauchyova funkce, FWHM ${displaystyle q_ {P} ^ {2} sigma _ {2} ^ {2} / a = 4pi ^ {2} n ^ {2} (sigma _ {2} / a) ^ {2} / a}$, tj. FWHM se zvětšuje jako čtverec řádu vrcholu, a tak jako čtverec vlnovodu ${displaystyle q}$ na vrcholu.

Nakonec je součin výšky píku a FWHM konstantní a rovná se ${displaystyle 4 / a}$, v ${displaystyle qsigma _ {2} ll 1}$ omezit. Pro prvních pár vrcholů kde ${displaystyle n}$ není velký, to je jen ${displaystyle sigma _ {2} / vše 1}$ omezit.

Konečné krystaly s poruchou druhého druhu

Pro jednorozměrný krystal velikosti ${displaystyle N}$

${displaystyle S (q) = 1 + 2sum _ {m = 1} ^ {N} vlevo (1- {frac {m} {N}} vpravo) r ^ {m} protože vlevo (mqaight)}$

kde faktor v závorkách pochází ze skutečnosti, že součet přesahuje páry nejbližších sousedů (${displaystyle m = 1}$), další nejbližší sousedé (${displaystyle m = 2}$), ... a za krystal ${displaystyle N}$ letadla, jsou ${displaystyle N-1}$ páry nejbližších sousedů, ${displaystyle N-2}$ páry nejbližších sousedů atd.

Kapaliny

Na rozdíl od krystalů nemají kapaliny žádné objednávka na velké vzdálenosti (zejména neexistuje pravidelná mřížka), takže faktor struktury nevykazuje ostré vrcholy. Ukazují však určitý stupeň objednávka krátkého dosahu, v závislosti na jejich hustotě a na síle interakce mezi částicemi. Kapaliny jsou izotropní, takže po průměrování v rovnici (4), faktor struktury závisí pouze na absolutní velikosti vektoru rozptylu ${displaystyle q = left | mathbf {q} ight |}$. Pro další vyhodnocení je vhodné oddělit diagonální členy ${displaystyle j = k}$ v dvojitém součtu, jehož fáze je identicky nulová, a proto každý přispívá jednotkovou konstantou:

${displaystyle S (q) = 1 + {frac {1} {N}} součet levého úhlu _ {jeq k} mathrm {e} ^ {- imathbf {q} (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})} ightangle}$.

(9)

Lze získat alternativní výraz pro ${displaystyle S (q)}$ z hlediska radiální distribuční funkce ${displaystyle g (r)}$:^[8]

${displaystyle S (q) = 1 + ho int _ {V} mathrm {d} mathbf {r}, mathrm {e} ^ {- imathbf {q} mathbf {r}} g (r)}$.

(10)

Ideální plyn

V omezujícím případě žádné interakce je systém ideální plyn a strukturní faktor je zcela nevýrazný: ${displaystyle S (q) = 1}$, protože mezi pozicemi neexistuje žádná korelace ${displaystyle mathbf {R} _ {j}}$ a ${displaystyle mathbf {R} _ {k}}$ různých částic (jsou nezávislé náhodné proměnné ), takže mimo diagonální výrazy v rovnici (9) průměr na nulu: ${displaystyle langle exp [-imathbf {q} (mathbf {R} _ {j} -mathbf {R} _ {k})] úhel = langle exp (-imathbf {q} mathbf {R} _ {j}) úhel langle exp (imathbf {q} mathbf {R} _ {k}) úhel = 0}$.

Vysoký-${displaystyle q}$ omezit

Dokonce i pro interagující částice jde při vysokém vektoru rozptylu faktor struktury na 1. Tento výsledek vyplývá z rovnice (10), od té doby ${displaystyle S (q) -1}$ je Fourierova transformace „normální“ funkce ${displaystyle g (r)}$ a tak jde na nulu pro vysoké hodnoty argumentu ${displaystyle q}$. Toto uvažování neplatí pro dokonalý krystal, kde distribuční funkce vykazuje nekonečně ostré vrcholy.

Nízký-${displaystyle q}$ omezit

V nízkých${displaystyle q}$ limit, as the system is probed over large length scales, the structure factor contains thermodynamic information, being related to the isothermal compressibility ${displaystyle chi _{T}}$ of the liquid by the rovnice stlačitelnosti:

${displaystyle lim _{qightarrow 0}S(q)=ho ,k_{mathrm {B} }T,chi _{T}=k_{mathrm {B} }Tleft({frac {partial ho }{partial p}}ight)}$.

Hard-sphere liquids

Structure factor of a hard-sphere fluid, calculated using the Percus-Yevick approximation, for volume fractions ${displaystyle Phi}$ from 1% to 40%.

V tvrdá koule model, the particles are described as impenetrable spheres with radius ${displaystyle R}$; thus, their center-to-center distance ${displaystyle rgeq 2R}$ and they experience no interaction beyond this distance. Their interaction potential can be written as:

${displaystyle V(r)={ egin{cases}infty &{ ext{for }}r<2R,�&{ ext{for }}rgeq 2R.end{cases}}}$

This model has an analytical solution^[9] v Percus–Yevick approximation. Although highly simplified, it provides a good description for systems ranging from liquid metals^[10] to colloidal suspensions.^[11] In an illustration, the structure factor for a hard-sphere fluid is shown in the Figure, for volume fractions ${displaystyle Phi}$ from 1% to 40%.

Polymery

v polymer systems, the general definition (4) holds; the elementary constituents are now the monomery making up the chains. However, the structure factor being a measure of the correlation between particle positions, one can reasonably expect that this correlation will be different for monomers belonging to the same chain or to different chains.

Let us assume that the volume ${displaystyle V}$ obsahuje ${displaystyle N_ {c}}$ identical molecules, each composed of ${displaystyle N_ {p}}$ monomers, such that ${displaystyle N_{c}N_{p}=N}$ (${displaystyle N_ {p}}$ je také známý jako stupeň polymerace ). We can rewrite (4) tak jako:

${displaystyle S(mathbf {q} )={frac {1}{N_{c}N_{p}}}leftlangle sum _{alpha eta =1}^{N_{c}}sum _{jk=1}^{N_{p}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{alpha j}-mathbf {R} _{ eta k})}ightangle ={frac {1}{N_{c}N_{p}}}leftlangle sum _{alpha =1}^{N_{c}}sum _{jk=1}^{N_{p}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{alpha j}-mathbf {R} _{alpha k})}ightangle +{frac {1}{N_{c}N_{p}}}leftlangle sum _{alpha eq eta =1}^{N_{c}}sum _{jk=1}^{N_{p}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{alpha j}-mathbf {R} _{ eta k})}ightangle }$,

(11)

where indices ${displaystyle alfa, eta}$ label the different molecules and ${displaystyle j, k}$ the different monomers along each molecule. On the right-hand side we separated intramolekulární (${displaystyle alpha = eta}$) a mezimolekulární (${displaystyle alpha eq eta }$) podmínky. Using the equivalence of the chains, (11) can be simplified:^[12]

${displaystyle S(mathbf {q} )=underbrace {{frac {1}{N_{p}}}leftlangle sum _{jk=1}^{N_{p}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{j}-mathbf {R} _{k})}ightangle } _{S_{1}(q)}+{frac {N_{c}-1}{N_{p}}}leftlangle sum _{jk=1}^{N_{p}}mathrm {e} ^{-imathbf {q} (mathbf {R} _{1j}-mathbf {R} _{2k})}ightangle }$,

(12)

kde ${displaystyle S_{1}(q)}$ is the single-chain structure factor.

Viz také

• R-faktor (krystalografie)
• Patterson function

Poznámky

Reference

1. Als-Nielsen, N. and McMorrow, D. (2011). Elements of Modern X-ray Physics (2nd edition). John Wiley & Sons.
2. Guinier, A. (1963). X-ray Diffraction. In Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. W. H. Freeman and Co.
3. Chandler, D. (1987). Úvod do moderní statistické mechaniky. Oxford University Press.
4. Hansen, J. P. a McDonald, I. R. (2005). Theory of Simple Liquids (3rd edition). Akademický tisk.
5. Teraoka, I. (2002). Polymer Solutions: An Introduction to Physical Properties. John Wiley & Sons.

externí odkazy

• Structure Factor Tutorial nachází se na University of York.
• Definice ${displaystyle F_{hkl}}$ podle IUCr
• Learning Crystallography, from the CSIC