Stokesův operátor - Stokes operator

The Stokesův operátor, pojmenoval podle George Gabriel Stokes, je neomezený lineární operátor použitý v teorii parciální diferenciální rovnice, konkrétně v oblastech dynamika tekutin a elektromagnetické pole.

Definice

Pokud definujeme ${ displaystyle P _ { sigma}}$ jako Lerayova projekce na divergence volný, uvolnit vektorová pole, pak Stokesův operátor ${ displaystyle A}$ je definováno

${ displaystyle A: = - P _ { sigma} Delta,}$

kde ${ displaystyle Delta equiv nabla ^ {2}}$ je Laplacian. Od té doby ${ displaystyle A}$ je neomezený, musíme také uvést jeho definiční doménu, která je definována jako ${ displaystyle { mathcal {D}} (A) = H ^ {2} cap V}$, kde ${ displaystyle V = {{ vec {u}} in (H_ {0} ^ {1} ( Omega)) ^ {n} | operatorname {div} , { vec {u}} = 0 }}$. Tady, ${ displaystyle Omega}$ je ohraničený otevřený soubor v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (obvykle n = 2 nebo 3), ${ displaystyle H ^ {2} ( Omega)}$ a ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ jsou standardem Sobolevovy prostory a divergence ${ displaystyle { vec {u}}}$ je přijata v rozdělení smysl.

Vlastnosti

Pro danou doménu ${ displaystyle Omega}$ který je otevřený, ohraničený a má ${ displaystyle C ^ {2}}$ hranice, Stokesův operátor ${ displaystyle A}$ je samoadjung pozitivní-definitivní provozovatel s ohledem na ${ displaystyle L ^ {2}}$ vnitřní produkt. Má ortonormální základ vlastních funkcí ${ displaystyle {w_ {k} } _ {k = 1} ^ { infty}}$ odpovídající vlastním číslům ${ displaystyle { lambda _ {k} } _ {k = 1} ^ { infty}}$ které uspokojí

${ displaystyle 0 < lambda _ {1} < lambda _ {2} leq lambda _ {3} cdots leq lambda _ {k} leq cdots}$

a ${ displaystyle lambda _ {k} rightarrow infty}$ tak jako ${ displaystyle k rightarrow infty}$. Všimněte si, že nejmenší vlastní číslo je jedinečné a nenulové. Tyto vlastnosti umožňují definovat pravomoci Stokesova operátoru. Nechat ${ displaystyle alpha> 0}$ být skutečné číslo. Definujeme ${ displaystyle A ^ { alpha}}$ jeho akcí na ${ displaystyle { vec {u}} v { mathcal {D}} (A)}$:

${ displaystyle A ^ { alpha} { vec {u}} = součet _ {k = 1} ^ { infty} lambda _ {k} ^ { alpha} u_ {k} { vec {w_ {k}}}}$

kde ${ displaystyle u_ {k}: = ({ vec {u}}, { vec {w_ {k}}})}$ a ${ displaystyle ( cdot, cdot)}$ je ${ displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ vnitřní produkt.

Inverzní ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ Stokesova operátoru je omezený, kompaktní, samoadjungovaný operátor v prostoru ${ displaystyle H: = {{ vec {u}} in (L ^ {2} ( Omega)) ^ {n} | operatorname {div} , { vec {u}} = 0 { text {and}} gamma ({ vec {u}}) = 0 }}$, kde ${ displaystyle gamma}$ je operátor trasování. Dále ${ displaystyle A ^ {- 1}: H rightarrow V}$ je injekční.

Reference

• Temam, Roger (2001), Navier-Stokesovy rovnice: Teorie a numerická analýza, AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-2737-5
• Constantin, Peter a Foias, Ciprian. Navier-Stokesovy rovnice, University of Chicago Press, (1988)