Lerayova projekce - Leray projection

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Lerayova projekce, pojmenoval podle Jean Leray, je lineární operátor použitý v teorii parciální diferenciální rovnice, konkrétně v oblastech dynamika tekutin. Neformálně to lze považovat za projekci vektorových polí bez divergence. Používá se zejména k eliminaci jak tlakového termínu, tak termínu bez odchylky v Stokesovy rovnice a Navier-Stokesovy rovnice.

Definice

Pseudo-diferenciálním přístupem

Pro vektorová pole ${ displaystyle mathbf {u}}$ (v jakékoli dimenzi ${ displaystyle n geq 2}$), Lerayova projekce ${ displaystyle mathbb {P}}$ je definováno

${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {u}) = mathbf {u} - nabla Delta ^ {- 1} ( nabla cdot mathbf {u}).}$

Tuto definici je třeba chápat ve smyslu pseudo-diferenciální operátory: jeho matice s Fourierovým multiplikátorem ${ displaystyle m ( xi)}$ je dána

${ displaystyle m ( xi) _ {kj} = delta _ {kj} - { frac { xi _ {k} xi _ {j}} { vert xi vert ^ {2}}} , quad 1 leq k, j leq n.}$

Tady, ${ displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta. Formálně to znamená pro všechny ${ displaystyle mathbf {u} in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {n}}$, jeden má

${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {u}) _ {k} (x) = { frac {1} {(2 pi) ^ {n / 2}}} int _ { mathbb { R} ^ {n}} left ( delta _ {kj} - { frac { xi _ {k} xi _ {j}} { vert xi vert ^ {2}}} right) { widehat { mathbf {u}}} _ {j} ( xi) , e ^ {i xi cdot x} , mathrm {d} xi, quad 1 leq k leq n }$

kde ${ displaystyle { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n})}$ je Schwartzův prostor. Používáme zde Einsteinova notace pro součet.

Helmholtz-Lerayův rozklad

Lze ukázat, že dané vektorové pole ${ displaystyle mathbf {u}}$ lze rozložit jako

${ displaystyle mathbf {u} = nabla q + mathbf {v}, quad { text {with}} quad nabla cdot mathbf {v} = 0.}$

Jinak než obvykle Helmholtzův rozklad, theHelmholtz – Lerayův rozklad ${ displaystyle mathbf {u}}$ je jedinečný (až do anaditivní konstanty pro ${ displaystyle q}$ ). Pak můžeme definovat ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {u})}$ tak jako

${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {u}) = mathbf {v}.}$

Vlastnosti

Lerayova projekce má následující vlastnosti:

1. Lerayova projekce je a projekce: ${ displaystyle mathbb {P} [ mathbb {P} ( mathbf {u})] = mathbb {P} ( mathbf {u})}$ pro všechny ${ displaystyle mathbf {u} in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {n}}$.
2. Projekce Leray je provozovatelem bez odchylek: ${ displaystyle nabla cdot [ mathbb {P} ( mathbf {u})] = 0}$ pro všechny ${ displaystyle mathbf {u} in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {n}}$.
3. Lerayova projekce je jednoduše identita vektorových polí bez divergence: ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {u}) = mathbf {u}}$ pro všechny ${ displaystyle mathbf {u} in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {n}}$ takhle ${ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0}$.
4. Lerayova projekce zmizí pro vektorová pole vycházející z a potenciál: ${ displaystyle mathbb {P} ( nabla phi) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle phi in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ {n})}$.

Aplikace na Navier-Stokesovy rovnice

(Nestlačitelné) Navier-Stokesovy rovnice jsou

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} - nu , Delta mathbf {u} + ( mathbf {u} cdot nabla) mathbf {u} + nabla p = mathbf {f}}$

${ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0}$

kde ${ displaystyle mathbf {u}}$ je rychlost tekutiny, ${ displaystyle p}$ tlak, ${ displaystyle nu> 0}$ viskozita a ${ displaystyle mathbf {f}}$ vnější objemová síla.

Aplikování Lerayovy projekce na první rovnici a použití jejích vlastností vede k

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + nu , mathbb {S} ( mathbf {u}) + mathbb {B} ( mathbf {u} , mathbf {u}) = mathbb {P} ( mathbf {f})}$

kde

${ displaystyle mathbb {S} ( mathbf {u}) = - mathbb {P} ( Delta mathbf {u})}$

je Stokesův operátor a bilineární forma ${ displaystyle mathbb {B}}$ je definováno

${ displaystyle mathbb {B} ( mathbf {u}, mathbf {v}) = mathbb {P} [( mathbf {u} cdot nabla) mathbf {v}].}$

Obecně to pro jednoduchost předpokládáme ${ displaystyle mathbf {f}}$ není divergence, takže ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbf {f}) = mathbf {f}}$; to lze s termínem vždy udělat ${ displaystyle mathbf {f} - mathbb {P} ( mathbf {f})}$se přidává k tlaku.

Reference

• Temam, Roger (2001), Navier – Stokesovy rovnice: Teorie a numerická analýza, AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-2737-6
• Constantin, Peter a Foias, Ciprian. Navier-Stokesovy rovnice, University of Chicago Press, (1988)