Stochastická teorie portfolia - Stochastic portfolio theory - Wikipedia

Teorie stochastického portfolia (SPT) je matematická teorie pro analýzu struktury akciového trhu a chování portfolia zavedená E. Robertem Fernholzem v roce 2002. Je popisná na rozdíl od normativní a je v souladu se sledovaným chováním skutečných trhů. Normativní předpoklady, které slouží jako základ pro dřívější teorie jako moderní teorie portfolia (MPT) a model oceňování kapitálových aktiv (CAPM), chybí na SPT.

SPT používá nepřetržitý čas náhodné procesy (zejména kontinuální semi-martingales), které představují ceny jednotlivých cenných papírů. Procesy s diskontinuitami, jako jsou skoky, byly také začleněny do teorie.

Akcie, portfolia a trhy

SPT uvažuje zásoby a burzy, ale jeho metody lze použít na jiné třídy aktiva také. Akci představuje její cenový proces, obvykle v logaritmická reprezentace. V případě trh je soubor procesů cen akcií ${ displaystyle X_ {i},}$ pro ${ displaystyle i = 1, tečky, n,}$ každý je definován spojitostí semimartingale

{ Displaystyle d log X_ {i} (t) = gamma _ {i} (t) , dt + součet _ { nu = 1} ^ {d} xi _ {i nu} (t) , dW _ { nu} (t)}

kde ${ displaystyle W: = (W_ {1}, tečky, W_ {d})}$ je ${ displaystyle n}$ -dimenzionální Brownův pohyb (Wiener) proces s ${ displaystyle d geq n}$ a procesy ${ displaystyle gamma _ {i}}$ a ${ displaystyle xi _ {i nu}}$ jsou postupně měřitelné s ohledem na Brownovu filtraci ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ {t} } = {{ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} }}$ . V tomto zastoupení ${ displaystyle gamma _ {i} (t)}$ se nazývá (sloučenina) tempo růstu z ${ displaystyle X_ {i},}$ a kovariance mezi ${ displaystyle log X_ {i}}$ a ${ displaystyle log X_ {j}}$ je ${ displaystyle sigma _ {ij} (t) = součet _ { nu = 1} ^ {d} xi _ {i nu} (t) xi _ {j nu} (t).}$ Často se předpokládá, že pro všechny ${ displaystyle i,}$ proces ${ displaystyle xi _ {i, 1} ^ {2} (t) + cdots + xi _ {id} ^ {2} (t)}$ je lokálně pozitivní čtvercově integrovatelný, a neroste příliš rychle jako ${ displaystyle t rightarrow infty.}$

Logaritmická reprezentace je ekvivalentní klasické aritmetické reprezentaci, která používá návratnost ${ displaystyle alpha _ {i} (t),}$ míra růstu však může být smysluplným ukazatelem dlouhodobé výkonnosti finančního aktiva, zatímco míra návratnosti má tendenci k vzestupu. Vztah mezi mírou návratnosti a mírou růstu je

{ displaystyle alpha _ {i} (t) = gamma _ {i} (t) + { frac { sigma _ {ii} (t)} {2}}}

Obvyklou konvencí v SPT je předpokládat, že každá akcie má jednu nesplacenou akcii, takže ${ displaystyle X_ {i} (t)}$ představuje celkovou kapitalizaci ${ displaystyle i}$ -th skladem v čase ${ displaystyle t,}$ a ${ displaystyle X (t) = X_ {1} (t) + cdots + X_ {n} (t)}$ je celková kapitalizace trhu. Do této reprezentace lze zahrnout dividendy, ale zde jsou pro jednoduchost vynechány.

An investiční strategie ${ displaystyle pi = ( pi _ {1}, cdots, pi _ {n})}$ je vektor omezených, postupně měřitelných procesů; množství ${ displaystyle pi _ {i} (t)}$ představuje podíl celkového bohatství investovaného do ${ displaystyle i}$ - skladová akce ${ displaystyle t}$ , a ${ displaystyle pi _ {0} (t): = 1- součet _ {i = 1} ^ {n} pi _ {i} (t)}$ je podíl hromaděný (investovaný na peněžním trhu s nulovou úrokovou sazbou). Záporné váhy odpovídají krátkým pozicím. Strategie hotovosti ${ displaystyle kappa equiv 0 ( kappa _ {0} equiv 1)}$ udržuje veškeré bohatství na peněžním trhu. Strategie ${ displaystyle pi}$ je nazýván portfolio, pokud je plně investována do akciový trh, to je ${ displaystyle pi _ {1} (t) + cdots + pi _ {n} (t) = 1}$ drží, po celou dobu.

The hodnotový proces ${ displaystyle Z _ { pi}}$ strategie ${ displaystyle pi}$ je vždy pozitivní a uspokojuje

{ Displaystyle d log Z _ { pi} (t) = součet _ {i = 1} ^ {n} pi _ {i} (t) , d log X_ {i} (t) + gamma _ { pi} ^ {*} (t) , dt}

kde je proces ${ displaystyle gamma _ { pi} ^ {*}}$ se nazývá proces nadměrného růstu a je dán

{ displaystyle gamma _ { pi} ^ {*} (t): = { frac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} pi _ {i} (t) sigma _ {ii} (t) - { frac {1} {2}} sum _ {i, j = 1} ^ {n} pi _ {i} (t) pi _ {j} ( t) sigma _ {ij} (t)}

Tento výraz je nezáporný pro portfolio s nezápornými váhami ${ displaystyle pi _ {i} (t)}$ a byl použit kvadratická optimalizace akciových portfolií, jejichž zvláštním případem je optimalizace s ohledem na logaritmickou užitnou funkci.

The procesy tržní váhy,

{ displaystyle mu _ {i} (t): = { frac {X_ {i} (t)} {X_ {1} (t) + cdots + X_ {n} (t)}}}

kde ${ displaystyle i = 1, tečky, n}$ definovat tržní portfolio ${ displaystyle mu}$ . S počáteční podmínkou ${ displaystyle Z _ { mu} (0) = X (0),}$ proces přidružené hodnoty uspokojí ${ displaystyle Z _ { mu} (t) = X (t)}$ pro všechny ${ Displaystyle t.}$

Obrázek 1 ukazuje entropii amerického akciového trhu v období od roku 1980 do roku 2012, přičemž osa má průměrnou hodnotu za toto období. Ačkoli entropie v čase kolísá, její chování naznačuje, že akciový trh má určitou stabilitu. Charakterizace této stability je jedním z cílů SPT.

Na trh lze uvalit řadu podmínek, někdy pro modelování skutečných trhů a někdy pro zdůraznění určitých typů hypotetického chování trhu. Některé běžně vyvolávané podmínky jsou:

Trh je nedegenerovat pokud vlastní čísla kovarianční matice ${ displaystyle ( sigma _ {ij} (t)) _ {1 leq i, j leq n}}$ jsou ohraničeny od nuly. Má to ohraničená odchylka pokud jsou vlastní čísla ohraničená.
Trh je koherentní -li ${ displaystyle operatorname {lim} _ {t rightarrow infty} t ^ {- 1} log ( mu _ {i} (t)) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i = 1, tečky, n.}$
Trh je různorodý na ${ displaystyle [0, T]}$ pokud existuje ${ displaystyle varepsilon> 0}$ takhle ${ displaystyle mu _ { max} (t) leq 1- varepsilon}$ pro ${ displaystyle t v [0, T].}$
Trh je slabě různorodý na ${ displaystyle [0, T]}$ pokud existuje ${ displaystyle varepsilon> 0}$ takhle

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} mu _ { max} (t) , dt leq 1- varepsilon}$

Rozmanitost a slabá rozmanitost jsou spíše slabé podmínky a trhy jsou obecně mnohem rozmanitější, než by byly testovány těmito extrémy. Míra rozmanitosti trhu je entropie trhu, definován

{ displaystyle S ( mu (t)) = - součet _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i} (t) log ( mu _ {i} (t)).}

Stochastická stabilita

Obrázek 2 zobrazuje (seřazené) křivky distribuce kapitálu na konci každého z posledních devíti let. Tento graf log-log vykazoval pozoruhodnou stabilitu po dlouhou dobu. Studium takové stability je jedním z hlavních cílů SPT.

Obrázek 3 ukazuje procesy „kumulativního obratu“ na různých úrovních v průběhu desetiletí. Jak se dalo očekávat, výše obratu se zvyšuje s klesajícím stupněm kapitalizace. Ve všech zobrazených řadách je také výrazný lineární růst v čase.

Zvažujeme vektorový proces ${ displaystyle ( mu _ {(1)} (t), tečky, mu _ {(n)} (t)),}$ s ${ displaystyle 0 leq t < infty}$ z hodnocené tržní váhy

{ displaystyle max _ {1 leq i leq n} mu _ {i} (t) =: mu _ {(1)} (t) geq mu _ {(2)} (t) geq cdots mu _ {(n)} (t): = min _ {1 leq i leq n} mu _ {i} (t)}

kde jsou vazby řešeny „lexikograficky“, vždy ve prospěch nejnižšího indexu. Logové mezery

{ displaystyle G ^ {(k, k + 1)} (t): = log ( mu _ {(k)} (t) / mu _ {(k + 1)} (t)),}

kde ${ displaystyle 0 leq t < infty}$ a ${ displaystyle k = 1, tečky, n-1}$ jsou spojité, nezáporné semimartingales; označujeme ${ displaystyle Lambda ^ {(k, k + 1)} (t) = L ^ {G ^ {(k, k + 1)}} (t; 0)}$ jejich místní časy v počátku. Tato množství měří výši obratu mezi řadami ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle k + 1}$ během časového intervalu ${ displaystyle [0, t]}$ .

Říká se trh stochasticky stabilní, pokud ${ displaystyle ( mu _ {(1)} (t), cdots, mu _ {(n)} (t))}$ konverguje v distribuci tak jako ${ displaystyle t rightarrow infty}$ na náhodný vektor ${ displaystyle (M _ {(1)}, cdots, M _ {(n)})}$ s hodnotami v Weylova komora ${ displaystyle {(x_ {1}, tečky, x_ {n}) mid x_ {1}> x_ {2}> tečky> x_ {n} { text {a}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 1 }}$ jednotky simplex, a pokud silný zákon velkého počtu

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} { frac { Lambda ^ {(k, k + 1)} (t)} {t}} = lambda ^ {(k, k + 1)} > 0}

platí pro vhodné reálné konstanty ${ displaystyle lambda ^ {(1,2)}, tečky, lambda ^ {(n-1, n)}.}$

Arbitráž a majetek numeraire

Vzhledem ke dvěma investičním strategiím ${ displaystyle pi, rho}$ a skutečné číslo ${ displaystyle T> 0}$ , říkáme to ${ displaystyle pi}$ je arbitráž ve vztahu k ${ displaystyle rho}$ v časovém horizontu ${ displaystyle [0, T]}$ , pokud ${ displaystyle mathbb {P} (Z _ { pi} (T) geq Z _ { rho} (T)) geq 1}$ a ${ displaystyle mathbb {P} (Z _ { pi} (T)> Z _ { rho} (T))> 0}$ oba drží; této relativní arbitráži se říká „silná“, pokud ${ displaystyle mathbb {P} (Z _ { pi} (T)> Z _ { rho} (T)) = 1.}$ Když ${ displaystyle rho}$ je ${ displaystyle kappa equiv 0,}$ obnovíme obvyklou definici arbitráže ve vztahu k hotovosti. Říkáme, že daná strategie ${ displaystyle nu}$ má numeraire majetek, pokud pro nějakou strategii ${ displaystyle pi}$ poměr ${ displaystyle Z _ { pi} / Z _ { nu}}$ je ${ displaystyle mathbb {P}}$ −supermartingale. V takovém případě postup ${ displaystyle 1 / Z _ { nu}}$ se nazývá „deflátor“ pro trh.

Ne arbitráž je možné v daném časovém horizontu ve vztahu ke strategii ${ displaystyle nu}$ který má vlastnost numeraire (buď s ohledem na základní míru pravděpodobnosti ${ displaystyle mathbb {P}}$ , nebo s ohledem na jakékoli jiné pravděpodobnostní měřítko, které je ekvivalentní ${ displaystyle mathbb {P}}$ ). Strategie ${ displaystyle nu}$ s vlastností numeraire maximalizuje asymptotický růst z investice v tom smyslu

{ displaystyle limsup _ {T rightarrow infty} { frac {1} {T}} log left ({ frac {Z _ { pi} (T)} {Z _ { nu} (T) }} vpravo) leq 0}

platí pro jakoukoli strategii ${ displaystyle pi}$ ; také maximalizuje očekávanou logaritmickou užitečnost z investice v tom smyslu, že pro jakoukoli strategii ${ displaystyle pi}$ a skutečné číslo ${ displaystyle T> 0}$ my máme

{ displaystyle mathbb {E} [ log (Z _ { pi} (T)] leq mathbb {E} [ log (Z _ { nu} (T))]}}

Pokud vektor ${ displaystyle alpha (t) = ( alpha _ {1} (t), cdots, alpha _ {n} (t)) '}$ okamžité míry návratnosti a matice ${ displaystyle sigma (t) = ( sigma (t)) _ {1 leq i, j leq n}}$ okamžitých kovariancí, pak strategie

{ displaystyle nu (t) = arg max _ {p in mathbb {R} ^ {n}} (p ' alpha (t) - { tfrac {1} {2}} p' alfa (t) p) qquad { text {pro všechny}} 0 leq t < infty}

má vlastnost numeraire vždy, když je dosaženo uvedeného maxima.

Studie portfolia numeraire spojuje SPT s takzvaným Benchmark přístupem k Mathematical Finance, který bere takové portfolio numeraire, jak je uvedeno, a poskytuje způsob, jak ocenit podmíněné nároky, bez dalších předpokladů.

Míra pravděpodobnosti ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je nazýván ekvivalentní martingale míra (EMM) v daném časovém horizontu ${ displaystyle [0, T]}$ , pokud má stejné nulové sady jako ${ displaystyle mathbb {P}}$ na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {T}}$ , a pokud procesy ${ displaystyle X_ {1} (t), tečky, X_ {n} (t)}$ s ${ displaystyle 0 leq t leq T}$ všichni jsou ${ displaystyle mathbb {Q}}$ - martingales. Za předpokladu, že takový EMM existuje, není arbitráž možná ${ displaystyle [0, T]}$ relativně k jedné hotovosti ${ displaystyle kappa}$ nebo do tržního portfolia ${ displaystyle mu}$ (nebo obecněji ve vztahu k jakékoli strategii ${ displaystyle rho}$ jehož proces bohatství ${ displaystyle Z _ { rho}}$ je martingale pod některými EMM). Naopak, pokud ${ displaystyle pi, rho}$ jsou portfolia a jedno z nich je arbitráž ve vztahu k druhému ${ displaystyle [0, T]}$ pak na tomto horizontu nemůže existovat žádná EMM.

Funkčně generovaná portfolia

Předpokládejme, že máme hladkou funkci ${ displaystyle G: U rightarrow (0, infty)}$ na nějakém sousedství ${ displaystyle U}$ jednotky simplex v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Voláme

{ displaystyle pi _ {i} ^ { mathbb {G}} (t): = mu _ {i} (t) left (D_ {i} log ( mathbb {G} ( mu ( t))) + 1- součet _ {j = 1} ^ {n} mu _ {j} (t) D_ {j} log ( mathbb {G} ( mu (t))) vpravo ) qquad { text {pro}} 1 leq i leq n}

the portfolio generované funkcí ${ displaystyle mathbb {G}}$ . Je možné ukázat, že všechny váhy tohoto portfolia jsou nezáporné, pokud jeho generující funkce ${ displaystyle mathbb {G}}$ je konkávní. Za mírných podmínek relativní výkonnost tohoto funkčně generovaného portfolia ${ displaystyle pi _ { mathbb {G}}}$ s ohledem na tržní portfolio ${ displaystyle mu}$ , je dán F-G rozklad

{ displaystyle log left ({ frac {Z _ { pi ^ { mathbb {G}}} (T)} {Z _ { mu} (T)}} right) = log left ({ frac { mathbb {G} ( mu (T))} { mathbb {G} ( mu (0))}} vpravo) + int _ {0} ^ {T} g (t) , dt}

což nezahrnuje žádné stochastické integrály. Tady výraz

{ displaystyle g (t): = { frac {-1} {2 mathbb {G} ( mu (t))}} součet _ {i = 1} ^ {n} součet _ {j = 1} ^ {n} D_ {ij} ^ {2} mathbb {G} ( mu (t)) mu _ {i} (t) mu _ {j} (t) tau _ {ij} ^ { mu} (t)}

se nazývá driftový proces portfolia (a jedná se o nezápornou veličinu, pokud je generující funkcí ${ displaystyle mathbb {G}}$ je konkávní); a množství

{ displaystyle tau _ {ij} ^ { mu} (t): = součet _ { nu = 1} ^ {n} ( xi _ {i nu} (t) - xi _ { nu} ^ { mu} (t)) ( xi _ {j nu} (t) - xi _ { nu} ^ { mu} (t)), qquad xi _ {i nu } (t): = sum _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i} (t) xi _ {i nu} (t)}

s ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$ se nazývají relativní kovariance mezi ${ displaystyle log (X_ {i})}$ a ${ displaystyle log (X_ {j})}$ s ohledem na trh.

Příklady

Konstantní funkce ${ displaystyle mathbb {G}: = w> 0}$ generuje tržní portfolio ${ displaystyle mu}$ ,
Funkce geometrického průměru ${ displaystyle mathbb {H} (x): = (x_ {1} cdots x_ {n}) ^ { frac {1} {n}}}$ generuje stejně vážené portfolio ${ displaystyle varphi _ {i} (n) = { frac {1} {n}}}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$ ,
Upravená entropická funkce ${ displaystyle mathbb {S} ^ {c} (x) = c- součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} cdot log (x_ {i})}$ pro všechny ${ displaystyle c> 0}$ generuje upravené portfolio vážené entropií,
Funkce ${ displaystyle mathbb {D} ^ {(p)} (x): = ( součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {p}) ^ { frac {1} {p }}}$ s ${ displaystyle 0$ generuje portfolio vážené rozmanitostí ${ displaystyle delta _ {i} ^ {(p)} (t) = { frac {( mu _ {i} (t)) ^ {p}} { součet _ {i = 1} ^ { n} ( mu _ {i} (t)) ^ {p}}}}$ s driftový proces ${ displaystyle (1-p) gamma _ { delta ^ {(p)}} ^ {*} (t)}$ .

Arbitráž ve vztahu k trhu

Přebytek tempa růstu tržního portfolia připouští zastoupení ${ displaystyle 2 gamma _ { mu} ^ {*} (t) = součet _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i} (t) tau _ {ii} ^ { mu } (t)}$ jako kapitalizací vážený průměr relativní variance akcií. Toto množství je nezáporné; pokud je to náhodou ohraničeno od nuly, jmenovitě

{ displaystyle gamma _ { mu} ^ {*} (t) = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i} (t) tau _ {ii} ^ { mu} (t) geq h> 0,}

pro všechny ${ displaystyle 0 leq t < infty}$ pro nějakou skutečnou konstantu ${ displaystyle h}$ , pak to může být ukázáno pomocí F-G rozkladu, že pro každého ${ displaystyle T> mathbb {S} ( mu (0)) / h,}$ existuje konstanta ${ displaystyle c> 0}$ pro které je upraveno entropické portfolio ${ displaystyle Theta ^ {(c)}}$ je přísná arbitráž ve vztahu k trhu ${ displaystyle mu}$ přes ${ displaystyle [0, T]}$ ; podrobnosti viz Fernholz a Karatzas (2005). Je otázkou, zda taková arbitráž existuje v libovolných časových horizontech (ve dvou zvláštních případech, v nichž se odpověď na tuto otázku ukáže jako kladná, viz odstavec níže a další část).

Jsou-li vlastní čísla kovarianční matice ${ displaystyle ( sigma _ {ij} (t)) _ {1 leq i, j leq n}}$ jsou ohraničeny od nuly a nekonečna, podmínky ${ displaystyle gamma _ { mu} ^ {*} geq h> 0}$ lze prokázat, že jsou rovnocenné rozmanitosti, a to ${ displaystyle mu _ { max} leq 1- varepsilon}$ za vhodný ${ displaystyle varepsilon v (0,1).}$ Pak portfolio vážené rozmanitostí ${ displaystyle delta ^ {(p)}}$ vede k přísné arbitráži vůči tržnímu portfoliu v dostatečně dlouhých časových horizontech; vzhledem k tomu, že vhodné úpravy tohoto portfolia váženého rozmanitostí realizují tak přísnou arbitráž v libovolných časových horizontech.

Příklad: trhy stabilizované volatilitou

Uvažujeme příklad systému stochastické diferenciální rovnice

{ displaystyle d log (X_ {i} (t)) = { frac { alpha} {2 mu _ {i} (t)}} dt + { frac { sigma} { mu _ {i} (t)}} , dW_ {i} (t)}

s ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$ dané skutečné konstanty ${ displaystyle alpha geq 0}$ a ${ displaystyle n}$ -dimenzionální Brownův pohyb ${ displaystyle (W_ {1}, tečky, W_ {n}).}$ Z práce Bassa a Perkinse (2002) vyplývá, že tento systém má slabé řešení, které je v distribuci jedinečné. Fernholz a Karatzas (2005) ukazují, jak postavit toto řešení z hlediska měřítka a času změněných na druhou Besselovy procesy, a dokázat, že výsledný systém je koherentní.

Celková tržní kapitalizace ${ displaystyle X}$ chová se zde jako geometrický Brownův pohyb s driftem a má stejnou konstantní míru růstu jako největší akcie; zatímco nadměrné tempo růstu tržního portfolia je pozitivní konstantou. Na druhou stranu relativní tržní váhy ${ displaystyle mu _ {i}}$ s ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$ mít dynamiku více alel Wright-Fisherovy procesy. Tento model je příkladem nediverzifikovaného trhu s neomezenými odchylkami, na kterém existují silné arbitrážní příležitosti s ohledem na tržní portfolio ${ displaystyle mu}$ existovat znovu libovolné časové horizonty, jak prokázali Banner a Fernholz (2008). Pal (2012) navíc odvodil společnou hustotu tržních vah ve stanovených časech a v určitých časech zastavení.

Hodnocení založená na portfoliích

Opravíme celé číslo ${ displaystyle m in {2, tečky, n-1 }}$ a vybudovat dvě portfolia vážená podle kapitalizace: jedno sestávající z vrcholu ${ displaystyle m}$ akcie, označené ${ displaystyle zeta}$ a jeden sestávající ze dna ${ displaystyle n-m}$ akcie, označené ${ displaystyle eta}$ . Konkrétněji,

{ displaystyle zeta _ {i} (t) = { frac { součet _ {k = 1} ^ {m} mu _ {(k)} (t) mathbf {1} _ { { mu _ {i} (t) = mu _ {(k)} (t) }}} { sum _ {l = 1} ^ {m} mu _ {(l)} (t)}} qquad { text {and}} eta _ {i} (t) = { frac { sum _ {k = m + 1} ^ {n} mu _ {(k)} (t) mathbf {1} _ { { mu _ {i} (t) = mu _ {(k)} (t) }}} { sum _ {l = m + 1} ^ {n} mu _ {(l)} (t)}}}

pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n.}$ Fernholz (1999), (2002) ukázal, že relativní výkonnost velkého akciového portfolia vzhledem k trhu je uvedena jako

{ displaystyle log left ({ frac {Z _ { zeta} (t)} {Z _ { mu} (t)}} right) = log left ({ frac { mu _ {( 1)} (T) + cdots + mu _ {(m)} (T)} { mu _ {(1)} (0) + cdots + mu _ {(m)} (0)} } right) - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { frac { mu _ {(m)} (t)} { mu _ {(1)} (t) + cdots + mu _ {(m)} (t)}} , d Lambda ^ {(m, m + 1)} (t).}

Ve skutečnosti, pokud během intervalu nedojde k žádnému obratu na páté pozici ${ displaystyle [0, T]}$ , bohatství ${ displaystyle zeta}$ relativní k trhu jsou určeny pouze na základě toho, jak je celková kapitalizace tohoto sub-vesmíru ${ displaystyle m}$ největší ceny letenek v čase ${ displaystyle T}$ proti času 0; kdykoli dojde k obratu na ${ displaystyle m}$ -th pořadí, ačkoli, ${ displaystyle zeta}$ musí prodat se ztrátou akcie, které se „dostanou“ do nižší ligy, a koupit akcie, které vzrostly na hodnotě a byly propagovány. To odpovídá „úniku“, který je patrný v posledním termínu, což je nedílnou součástí procesu kumulativního obratu ${ displaystyle Lambda ^ {(m, m + 1)}}$ relativní váhy v portfoliu velkých společností ${ displaystyle zeta}$ akcie, která zaujímá m. pozici.

U portfolia převládá opačná situace ${ displaystyle eta}$ malých akcií, které se budou prodávat se ziskem, akcie, které jsou povýšeny do ligy „vyšší kapitalizace“, a nakupují relativně levně akcie, které jsou zařazovány:

{ displaystyle log left ({ frac {Z _ { eta} (t)} {Z _ { mu} (t)}} right) = log left ({ frac { mu _ {( m + 1)} (T) + cdots + mu _ {(n)} (T)} { mu _ {(m + 1)} (0) + cdots + mu _ {(n)} (0)}} vpravo) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { frac { mu _ {(m + 1)} (t)} { mu _ {(m + 1)} (t) + cdots + mu _ {(n)} (t)}}.}

Z těchto dvou výrazů je zřejmé, že v a koherentní a stochasticky stabilní trhu, portfolia váženého pro malé akciové trhy ${ displaystyle zeta}$ bude mít tendenci překonávat své protějšky z velkých akcií ${ displaystyle eta}$ , alespoň překlenout časové horizonty a; zvláště za těchto podmínek máme

{ displaystyle lim _ {T rightarrow infty} { frac {1} {T}} log left ({ frac {Z _ { eta} (t)} {Z _ { mu} (t) }} right) = lambda ^ {(m, m + 1)} mathbb {E} left ({ frac {M _ {(1)}} {M _ {(1)} + cdots + M_ { (m)}}} + { frac {M _ {(m + 1)}} {M _ {(m + 1)} + cdots + M _ {(n)}}} vpravo)> 0.}

Tím se kvantifikuje tzv efekt velikosti. Ve Fernholz (1999, 2002) jsou takovéto konstrukce zobecněny, aby zahrnovaly funkčně generovaná portfolia založená na hodnocených tržních vahách.

Modely prvního a druhého řádu

Modely prvního a druhého řádu jsou hybridní modely Atlas, které reprodukují část struktury skutečných akciových trhů. Modely prvního řádu mají pouze parametry založené na pořadí a modely druhého řádu mají parametry založené na pořadí i na jménech.

Předpokládejme to ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ je soudržný trh, a to limity

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {k} ^ {2} = lim _ {t to infty} t ^ {- 1} langle log mu _ {(k)} rangle (t )}

a

{ displaystyle mathbf {g} _ {k} = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} součet _ {i = 1 } ^ {n} mathbf {1} _ { {r_ {t} (i) = k }} , d log mu _ {i} (t)}

existují pro ${ displaystyle k = 1, ldots, n}$ , kde ${ displaystyle r_ {t} (i)}$ je hodnost ${ displaystyle X_ {i} (t)}$ . Pak model Atlas ${ displaystyle { widehat {X}} _ {1}, ldots, { widehat {X}} _ {n}}$ definován

{ displaystyle d log { widehat {X}} _ {i} (t) = součet _ {k = 1} ^ {n} mathbf {g} _ {k} , mathbf {1} _ { {{ hat {r}} _ {t} (i) = k }} , dt + sum _ {k = 1} ^ {n} mathbf { sigma} _ {k} mathbf { 1} _ { {{ hat {r}} _ {t} (i) = k }} , dW_ {i} (t),}

kde ${ displaystyle { hat {r}} _ {t} (i)}$ je hodnost ${ displaystyle { widehat {X}} _ {i} (t)}$ a ${ displaystyle (W_ {1}, ldots, W_ {n})}$ je ${ displaystyle n}$ -dimenzionální Brownův pohybový proces, je model prvního řádu pro původní trh, ${ displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ .

Za rozumných podmínek bude křivka rozdělení kapitálu pro model prvního řádu blízká křivce původního trhu. Model prvního řádu je však ergodický v tom smyslu, že každá populace utrácí asymptoticky ${ displaystyle (1 / n)}$ -th of its time at each rank, a property that is not present in actual markets. Aby bylo možné měnit poměr času, který akcie stráví v každé hodnosti, je nutné použít nějakou formu hybridního modelu Atlas s parametry, které závisí jak na hodnosti, tak na názvu. Snahu v tomto směru vyvinuli Fernholz, Ichiba a Karatzas (2013), kteří představili a model druhého řádu pro trh s parametry růstu založenými na hodnocení a jménech a parametry rozptylu, které závisely na samotném hodnocení.

Reference

Fernholz, E.R. (2002). Stochastická teorie portfolia. New York: Springer-Verlag.