Stechkinsovo lemma - Stechkins lemma - Wikipedia

v matematika - konkrétněji v funkční analýza a numerická analýza – Stechkinovo lemma je výsledek o ℓ^q norma ocasu a sekvence, když je známo, že celá posloupnost má konečnou ℓ^p norma. Zde výraz „ocas“ znamená ty výrazy v pořadí, které nejsou mezi N největší podmínky, libovolně přirozené číslo N. Stechkinovo lemma je často užitečné, když analyzovat nejlepší-N-termální aproximace funkce na daném základě a funkční prostor. Výsledek původně prokázal Stechkin v případě ${ displaystyle q = 2}$.

Prohlášení o lemmatu

Nechat ${ displaystyle 0$

a nechte ${ displaystyle I}$ být spočítatelný sada indexů. Nechat ${ displaystyle (a_ {i}) _ {i v I}}$ být libovolná sekvence indexovaná pomocí ${ displaystyle I}$, a pro ${ displaystyle N in mathbb {N}}$ nechat ${ displaystyle I_ {N} podmnožina I}$ být indexy ${ displaystyle N}$ největší členy posloupnosti ${ displaystyle (a_ {i}) _ {i v I}}$ v absolutní hodnota. Pak

${ displaystyle left ( sum _ {i in I setminus I_ {N}} | a_ {i} | ^ {q} right) ^ {1 / q} leq left ( sum _ {i in I} | a_ {i} | ^ {p} right) ^ {1 / p} { frac {1} {N ^ {r}}}}$

kde

${ displaystyle r = { frac {1} {p}} - { frac {1} {q}}> 0}$.

Stechkinovo lemma tedy ovládá ℓ^q norma ocasu sekvence ${ displaystyle (a_ {i}) _ {i v I}}$ (a tedy ℓ^q norma rozdílu mezi posloupností a její aproximací pomocí její ${ displaystyle N}$ největší termíny) z hlediska ℓ^p norma plné sekvence a rychlost rozpadu.

Reference

• Schneider, Reinhold; Uschmajew, André (2014). "Aproximační rychlosti pro hierarchický tenzorový formát v periodických Sobolevových prostorech". Journal of Complexity. 30 (2): 56–71. CiteSeerX  10.1.1.690.6952. doi:10.1016 / j.jco.2013.10.001. ISSN  0885-064X. Viz oddíl 2.1 a poznámka pod čarou 5.