Sommerfeldova identita - Sommerfeld identity

The Sommerfeldova identita je matematická identita Arnold Sommerfeld, použitý v teorii šíření vln,

${displaystyle {frac {e ^ {ikR}} {R}} = int limity _ {0} ^ {infty} I_ {0} (lambda r) e ^ {- mu left | zight |} {frac {lambda dlambda} {mu}}}$

kde

${displaystyle mu = {sqrt {lambda ^ {2} -k ^ {2}}}}$

je třeba brát s pozitivní skutečnou částí, abychom zajistili konvergenci integrálu a jeho zmizení v limitu ${displaystyle zightarrow pm infty}$ a

${displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} + z ^ {2}}$.

Tady, ${displaystyle R}$ je vzdálenost od počátku while ${displaystyle r}$ je vzdálenost od středové osy válce jako v ${displaystyle (r, phi, z)}$ válcový souřadnicový systém. Zde notace pro Besselovy funkce následuje německou konvenci, aby byla konzistentní s původní notací používanou Sommerfeldem. Funkce ${displaystyle I_ {0} (z)}$ je nultý řád Besselova funkce prvního druhu, známější notací ${displaystyle I_ {0} (z) = J_ {0} (iz)}$ v anglické literatuře. Tato identita je známá jako Sommerfeldova identita. ^[1]

V alternativním zápisu lze Sommerfeldovu identitu snáze vnímat jako expanzi sférické vlny, pokud jde o válcově symetrické vlny:^[2]

${displaystyle {frac {e ^ {ik_ {0} r}} {r}} = iint limits _ {0} ^ {infty} {dk_ {ho} {frac {k_ {ho}} {k_ {z}}} J_ {0} (k_ {ho} ho) e ^ {ik_ {z} vlevo | zight |}}}$

Kde

${displaystyle k_ {z} = (k_ {0} ^ {2} -k_ {ho} ^ {2}) ^ {1/2}}$

Zde použitý zápis má jinou formu než výše: ${displaystyle r}$ je nyní vzdálenost od počátku a ${displaystyle ho}$ je radiální vzdálenost v a válcový souřadnicový systém definováno jako ${displaystyle (ho, phi, z)}$. Fyzikální interpretace spočívá v tom, že sférická vlna může být expandována do součtu válcových vln ${displaystyle ho}$ směr, vynásobený oboustranným rovinná vlna v ${displaystyle z}$ směr; viz Jacobi-Anger expanze. Součet musí být převzat přes všechna vlnová čísla ${displaystyle k_ {ho}}$.

Sommerfeldova identita úzce souvisí s dvojrozměrností Fourierova transformace s válcovou symetrií, tj Hankelova transformace. Zjistí se transformací sférické vlny podél rovinných souřadnic (${displaystyle x}$,${displaystyle y}$nebo ${displaystyle ho}$, ${displaystyle phi}$), ale neprovádí se transformace podél výškové souřadnice ${displaystyle z}$. ^[3]

Poznámky

Reference

• Sommerfeld, Arnold (1964). Parciální diferenciální rovnice ve fyzice. New York: Akademický tisk. ISBN  9780126546583.
• Žvýkat, Weng Cho (1990). Vlny a pole v nehomogenních médiích. New York: Van Nostrand Reinhold. ISBN  9780780347496.

Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.