Věta o šesti exponenciálech - Six exponentials theorem

v matematika konkrétně teorie transcendentních čísel, věta o šesti exponenciálech je výsledek, který při správných podmínkách na exponentech zaručuje transcendenci alespoň jedné ze sady exponenciálů.

Prohlášení

Li X₁, X₂,..., X_d jsou d komplexní čísla to jsou lineárně nezávislé přes racionální čísla, a y₁, y₂,...,y_l jsou l komplexní čísla, která jsou také lineárně nezávislá na racionálních číslech, a pokud dl > d + l, pak alespoň jeden z následujících dl čísla jsou transcendentální:

${displaystyle exp (x_ {i} y_ {j}), quad (1leq ileq d, 1leq jleq l).}$

Nejzajímavějším případem je kdy d = 3 a l = 2, v takovém případě existuje šest exponenciálů, odtud název výsledku. Věta je slabší než příbuzná, ale dosud neprokázaná domněnka o čtyřech exponenciálech, přičemž přísná nerovnost dl > d + l je nahrazen dl ≥ d + l, což umožňuje d = l = 2.

Větu lze vyjádřit pomocí logaritmů zavedením množiny L logaritmů z algebraická čísla:

${displaystyle {mathcal {L}} = {lambda v mathbb {C},:, e ^ {lambda} v {overline {mathbb {Q}}}}.}$

Věta pak říká, že pokud λ_ij jsou prvky L pro i = 1, 2 a j = 1, 2, 3, takže λ₁₁, λ₁₂a λ₁₃ jsou lineárně nezávislé na racionálních číslech a λ₁₁ a λ₂₁ jsou také lineárně nezávislé na racionálních číslech, pak matice

${displaystyle M = {egin {pmatrix} lambda _ {11} & lambda _ {12} & lambda _ {13} lambda _ {21} & lambda _ {22} & lambda _ {23} end {pmatrix}}}$

má hodnost 2.

Dějiny

Zvláštní případ výsledku, kde X₁, X₂, a X₃ jsou logaritmy kladných celých čísel, y₁ = 1 a y₂ je skutečný, poprvé zmínil v příspěvku Leonidas Alaoglu a Paul Erdős z roku 1944, ve kterém se snaží dokázat, že poměr po sobě jdoucích kolosálně hojná čísla je vždy primární. Tvrdili to Carl Ludwig Siegel věděl o důkazu tohoto zvláštního případu, ale není zaznamenán.^[1] Pomocí speciálního případu dokážou dokázat, že poměr po sobě jdoucích kolosálně hojných čísel je vždy buď prvočíslo, nebo semiprime.

Věta byla nejprve výslovně uvedena a prokázána v úplné podobě nezávisle na sobě Serge Lang^[2] a Kanakanahalli Ramachandra^[3] v šedesátých letech.

Věta o pěti exponenciálech

Silnějším souvisejícím výsledkem je věta o pěti exponenciálech,^[4] což je následující. Nechat X₁, X₂ a y₁, y₂ být dva páry komplexních čísel, přičemž každý pár je lineárně nezávislý na racionálních číslech, a nechat γ být nenulové algebraické číslo. Potom je alespoň jedno z následujících pěti čísel transcendentální:

${displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1}}, e ^ {x_ {1} y_ {2}}, e ^ {x_ {2} y_ {1}}, e ^ {x_ {2} y_ { 2}}, e ^ {gamma x_ {2} / x_ {1}}.}$

Tato věta implikuje teorém šesti exponenciálů a je zase implikována dosud neprokázanou domněnkou čtyř exponenciálů, která říká, že ve skutečnosti musí být jedno z prvních čtyř čísel na tomto seznamu transcendentální.

Ostrá teorém o šesti exponenciálech

Dalším souvisejícím výsledkem, který implikuje teorém o šesti exponenciálech a teorému o pěti exponenciálech, je věta o ostrých šesti exponenciálech.^[5] Tato věta je následující. Nechat X₁, X₂, a X₃ být komplexní čísla, která jsou lineárně nezávislá na racionálních číslech, a let y₁ a y₂ být dvojice komplexních čísel, která jsou lineárně nezávislá na racionálních číslech, a předpokládejme, že β_ij je šest algebraických čísel pro 1 ≤i ≤ 3 a 1 ≤j ≤ 2 takové, že následujících šest čísel je algebraických:

${displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - eta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - eta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1 } - eta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - eta _ {22}}, e ^ {x_ {3} y_ {1} - eta _ {31}}, e ^ { x_ {3} y_ {2} - eta _ {32}}.}$

Pak X_i y_j = β_ij pro 1 ≤i ≤ 3 a 1 ≤j ≤ 2. Věta šesti exponenciálů pak následuje nastavením β_ij = 0 pro každého i a j, zatímco věta o pěti exponenciálech následuje nastavením X₃ = γ /X₁ a pomocí Bakerova věta zajistit, aby X_i jsou lineárně nezávislé.

Existuje také ostrá verze věty o pěti exponenciálech, i když dosud neprokázaná je známá jako ostrá domněnka pěti exponenciálů.^[6] Tato domněnka implikuje jak větu ostrých šesti exponenciálů, tak pět vět o exponenciálech, a uvádí se následovně. Nechat X₁, X₂ a y₁, y₂ být dva páry komplexních čísel, přičemž každý pár je lineárně nezávislý na racionálních číslech, a nechat α, β₁₁, β₁₂, β₂₁, β₂₂, a γ je šest algebraických čísel s γ ≠ 0 tak, že následujících pět čísel je algebraických:

${displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - eta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - eta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1 } - eta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - eta _ {22}}, e ^ {(gama x_ {2} / x_ {1}) - alfa}.}$

Pak X_i y_j = β_ij pro 1 ≤i, j ≤ 2 a yX₂ = αX₁.

Důsledkem této domněnky, která v současné době není známa, by byla transcendence E^π², nastavením X₁ = y₁ = β₁₁ = 1, X₂ = y₂ = iπ a všechny ostatní hodnoty v příkazu nulové.

Silná věta o šesti exponenciálech

Logické důsledky mezi různými problémy v tomto kruhu. Ti v červené barvě jsou zatím neprokázané, zatímco ti v modré barvě jsou známé výsledky. Nejvyšší výsledek se týká toho, o kterém se diskutovalo na Bakerova věta, zatímco čtyři dohady exponenciálních jsou podrobně popsány v domněnka o čtyřech exponenciálech článek.

Další posílení vět a domněnek v této oblasti jsou silné verze. The věta o silných šesti exponenciálech je výsledek prokázaný Damienem Royem, který implikuje teorém ostrých šesti exponenciálů.^[7] Tento výsledek se týká vektorový prostor nad algebraickými čísly generovanými 1 a všemi logaritmy algebraických čísel, zde označenými jako L^∗. Tak L^∗ je množina všech komplexních čísel formuláře

${displaystyle eta _ {0} + součet _ {i = 1} ^ {n} eta _ {i} přihlásit alfa _ {i},}$

pro některé n ≥ 0, kde všechny β_i a α_i jsou algebraické a všechny větev logaritmu je považován. Věta o silných šesti exponenciálech pak říká, že pokud X₁, X₂, a X₃ jsou komplexní čísla, která jsou lineárně nezávislá na algebraických číslech, a pokud y₁ a y₂ jsou dvojice komplexních čísel, která jsou také lineárně nezávislá na algebraických číslech, pak alespoň na jedno ze šesti čísel X_i y_j pro 1 ≤i ≤ 3 a 1 ≤j ≤ 2 není v L^∗. To je silnější než standardní věta o šesti exponenciálech, která říká, že jedno z těchto šesti čísel není pouze logaritmus algebraického čísla.

Je tam také silná domněnka pěti exponenciálů formuloval Michel Waldschmidt^[8] Znamenalo by to, že věta o silných šesti exponenciálech a ostrá domněnka o pěti exponenciálech. Tato domněnka tvrdí, že pokud X₁, X₂ a y₁, y₂ jsou dva páry komplexních čísel, přičemž každý pár je lineárně nezávislý na algebraických číslech, pak alespoň jedno z následujících pěti čísel není v L^∗:

${displaystyle x_ {1} y_ {1} ,, x_ {1} y_ {2} ,, x_ {2} y_ {1} ,, x_ {2} y_ {2} ,, x_ {1} / x_ {2 }.}$

Všechny výše uvedené dohady a věty jsou důsledky neprokázaného rozšíření Bakerova věta, že logaritmy algebraických čísel, která jsou lineárně nezávislá na racionálních číslech, jsou také automaticky algebraicky nezávislá. Diagram vpravo ukazuje logické důsledky mezi všemi těmito výsledky.

Zobecnění na komutativní skupinové odrůdy

Exponenciální funkce E^z uniformizuje exponenciální mapu multiplikativní skupiny G_m. Můžeme tedy přeformulovat šest exponenciální věty abstraktněji takto:

Nechat G = G_m × G_m a vzít u : C → G(C) být homomorfismem nenulové komplexně analytické skupiny. Definovat L být množinou komplexních čísel l pro který u(l) je algebraický bod G. Pokud je minimální generující sada L přes Q má více než dva prvky než obrázek u(C) je algebraická podskupina G(C).

(Aby bylo možné odvodit klasický výrok, nastavte u(z) =(E ^{y₁ z}; E ^{y₂ z}) a všimněte si toho QX₁ + QX₂ + QX₃ je podmnožinou L).

Tímto způsobem lze tvrzení věty šesti exponenciálů zobecnit na libovolnou komutativní skupinovou odrůdu G přes pole algebraických čísel. Tento zobecněné šest exponenciální domněnkyse však při současném stavu zdá být mimo rozsah teorie transcendentních čísel.

Pro speciální, ale zajímavé případy G = G_m × E a G = E × E', kde E, E' jsou eliptické křivky nad polem algebraických čísel, výsledky směrem k zobecněným šesti exponenciálním domněnkám prokázal Aleksander Momot.^[9] Tyto výsledky zahrnují exponenciální funkci E^z a funkce Weierstrass ${displaystyle wp}$ resp. dvě funkce Weierstrass ${displaystyle wp, wp '}$ s algebraickými invarianty ${displaystyle g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} ', g_ {3}'}$, místo dvou exponenciálních funkcí ${displaystyle e ^ {y_ {1} z}, e ^ {y_ {2} z}}$ v klasickém prohlášení.

Nechat G = G_m × E a předpokládejme E není izogenní pro křivku nad skutečným polem a tak u(C) není algebraická podskupina G(C). Pak L je generován znovu Q buď o dva prvky X₁, X₂nebo tři prvky X₁, X₂, X₃ které nejsou všechny obsaženy ve skutečné linii RC, kde C je nenulové komplexní číslo. Podobný výsledek je uveden pro G = E × E'.^[10]

Poznámky

Reference

• Alaoglu, Leonidas; Erdős, Paul (1944). "Na vysoce složených a podobných číslech". Trans. Amer. Matematika. Soc. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR  1990319. PAN  0011087.
• Lang, Serge (1966). Úvod do transcendentálních čísel. Čtení, mše .: Addison-Wesley Publishing Co. PAN  0214547.
• Momot, Aleksander (2011). "Hustota racionálních bodů na odrůdách komutativní skupiny a malý stupeň transcendence". arXiv:1011.3368 [math.NT ].
• Ramachandra, Kanakanahalli (1967–1968). „Příspěvky k teorii transcendentálních čísel. I, II“. Acta Arith. 14: 65–72, 73–88. doi:10,4064 / aa-14-1-65-72. PAN  0224566.
• Roy, Damien (1992). "Matice, jejichž koeficienty jsou lineární tvary v logaritmech". J. Teorie čísel. 41 (1): 22–47. doi:10.1016 / 0022-314x (92) 90081 let. PAN  1161143.
• Waldschmidt, Michel (1988). „K transcendentním metodám Gel'fonda a Schneidera v několika proměnných“. V Baker, Alan (ed.). Nové pokroky v teorii transcendence. Cambridge University Press. 375–398. PAN  0972013.
• Waldschmidt, Michel (2005). "Hopfovy algebry a transcendentální čísla". V Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; et al. (eds.). Funkce Zeta, topologie a kvantová fyzika: Příspěvky ze sympozia konaného na Kinki University, Osaka, 3. – 6. Března 2003. Vývoj v matematice. 14. Springer. 197–219. PAN  2179279.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Věta o šesti exponenciálech“. MathWorld.
• „Věta o šesti exponenciálech“. PlanetMath.