Siaccisova věta - Siaccis theorem - Wikipedia

v kinematika, akcelerace částice pohybující se podél křivky v prostoru je časová derivace její rychlosti. Ve většině aplikací je vektor zrychlení vyjádřen jako součet jeho normální a tangenciální součásti, což jsou ortogonální navzájem. Siacciho věta formulovaná italským matematikem Francesco Siacci (1839–1907), je kinematický rozklad vektoru zrychlení na jeho radiální a tangenciální složky. Obecně nejsou radiální a tangenciální komponenty navzájem kolmé. Siacciho věta je zvláště užitečná v pohybech, kde moment hybnosti je konstantní.

Siacciho věta v rovině

Pohyb částice P v rovině.

Nechte částice P hmoty m pohybovat se v dvourozměrném prostoru Euklidovský prostor (rovinný pohyb). Předpokládejme to C je křivka vysledovaná pomocí P a s je délka oblouku C odpovídající času t. Nechat Ó být libovolný počátek v rovině a {i,j} být opraven ortonormální základ. Vektor polohy částice je

${ displaystyle mathbf {r} = r mathbf {e} _ {r}.}$

The jednotkový vektor E_r je radiální bázový vektor a polární souřadnicový systém v letadle. The rychlost vektor částice je

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {d mathbf {r}} {dt}} = { dot {s}} mathbf {e} _ {t} = v mathbf {e} _ { t},}$

kde E_t je jednotkový tangensový vektor k C. Definujte moment hybnosti P tak jako

${ displaystyle mathbf {h} = mathbf {r} krát m mathbf {v} = h mathbf {k},}$

kde k = i X j. Předpokládat, že h ≠ 0. Vektor polohy r pak lze vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {r} = q mathbf {e} _ {t} -p mathbf {e} _ {n}}$

v Serret-Frenet Basis {E_t, E_n, E_b}. Velikost momentu hybnosti je h = mpv, kde p je kolmá od počátku k tečné přímce ZP. Podle Siacciho věty zrychlení A z P lze vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {a} = - { frac { kappa v ^ {2} r} {p}} mathbf {e} _ {r} + { frac {(h ^ {2}) '} {2p ^ {2}}} mathbf {e} _ {t} = S_ {r} mathbf {e} _ {r} + S_ {t} mathbf {e} _ {t}.}$

kde prvočíslo označuje diferenciaci vzhledem k délce oblouku s, a κ je zakřivení funkce křivky C. Obecně, S_r a S_t nejsou stejné jako ortogonální projekce A na E_r a E_t.

Příklad: Centrální síly

Předpokládejme, že moment hybnosti částice P je nenulová konstanta a to S_r je funkce r. Pak

${ displaystyle S_ {r} = - f (r) = - { frac { kappa rh ^ {2}} {p ^ {3}}}, qquad S_ {t} = 0.}$

Protože zakřivení v bodě na oběžné dráze je dáno vztahem

${ displaystyle kappa = { frac {1} {r}} { frac {dp} {dr}},}$

funkce F lze pohodlně psát jako ODE první objednávky

${ displaystyle f (r) = { frac {h ^ {2}} {p ^ {3}}} { frac {dp} {dr}}.}$

Rovnice pro zachování energie pro částici se poté získá, pokud f (r) je integrovatelný.

${ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {h ^ {2}} {p ^ {2}}} + int f (r) = konstanta}$.

Siacciho věta ve vesmíru

Siacciho teorém lze rozšířit na trojrozměrné pohyby. Tak tedy C být prostorová křivka vysledovatelná pomocí P a s je délka oblouku C odpovídající času t. Předpokládejme také, že binormální složka momentu hybnosti nezmizí. Pak vektor zrychlení P lze vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {a} = - { frac { kappa v ^ {2} r} {p}} mathbf {e} _ {r} + left (v { frac {dv} {ds} } + { frac { kappa v ^ {2} q} {p}} vpravo) mathbf {e} _ {t}.}$

Tangenciální komponenta je tečná ke křivce C. Radiální složka je směrována z bodu P do bodu, kde se kolmice z libovolného pevného počátku setkává s oscilační rovina. Další výrazy pro A najdete v^[1], kde je uveden nový důkaz Siacciho věty.

Viz také

• Akcelerace
• Plošná rychlost
• Centrální síla
• Serret-Frenetovy rovnice

Reference

• F. Siacci. Moto per una linea plana. Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino, XIV, 750–760, 1879.
• F. Siacci. Moto per una linea gobba. Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino, XIV, 946–951, 1879.
• E. T. Whittaker. Pojednání o analytické dynamice částic a tuhých těles. 4. vydání, Cambridge University Press, Cambridge. Přetištěno v Dover Publications, Inc., New York (1944).
• Nathaniel Grossman. Pouhá radost z nebeské mechaniky. Birkhäuser, Basilej, 1996.