Plošná rychlost - Areal velocity

Plošná rychlost je oblast zametená za jednotku času částicemi pohybujícími se po křivce da / dt = const (zobrazeno modře).

v klasická mechanika, plošná rychlost (také zvaný rychlost sektoru nebo sektorová rychlost) je sazba, při které plocha je zameten částicemi, jak se pohybuje podél a křivka. Na sousedním obrázku předpokládejme, že se částice pohybuje podél modré křivky. V určitou dobu t, částice se nachází v bodě Ba krátce nato později t + Δt, částice se přesunula do bodu C. Oblast vymetená částicí je zelená oblast na obrázku ohraničená úsečkami AB a AC a křivka, po které se částice pohybuje. Plošná rychlost se rovná této ploše dělené časovým intervalem Δt v limitu, že Δt se stává mizivě malým. Je to příklad a pseudovektor (také zvaný axiální vektor), směřující kolmo k rovině obsahující vektory polohy a rychlosti částice.

Ilustrace druhého Keplerova zákona. Planeta se pohybuje rychleji v blízkosti Slunce, takže je v daném čase vymetena stejná oblast jako na větší vzdálenosti, kde se planeta pohybuje pomaleji.

Koncept plošné rychlosti je historicky úzce spjat s konceptem moment hybnosti. Keplerův druhý zákon uvádí, že plošná rychlost planety, přičemž jako počátek je bráno slunce, je konstantní. Isaac Newton byl prvním vědcem, který rozpoznal dynamický význam druhého Keplerova zákona. Pomocí svých pohybových zákonů dokázal v roce 1684, že každá planeta, která je přitahována pevným středem, zametá stejné oblasti ve stejných časových intervalech. V polovině 18. století byl princip momentu hybnosti objeven postupně Daniel Bernoulli a Leonhard Euler a Patrick d'Arcy; d'Arcyho verze principu byla formulována z hlediska zametené oblasti. Z tohoto důvodu byl princip momentu hybnosti ve starší literatuře v mechanice často označován jako „princip rovných ploch“. Protože koncept momentu hybnosti zahrnuje více než jen geometrii, bylo v moderních pracích upuštěno od označení „princip rovných ploch“.

Spojení s momentem hybnosti

V situaci prvního obrázku se oblast vymetla během časového období Δt částice je přibližně stejná jako plocha trojúhelníku ABC. Tak jako Δt se blíží nule, tato téměř rovnost se stává přesnou jako omezit.

Nechte bod D být čtvrtým rohem rovnoběžníku ABDC zobrazené na obrázku, takže vektory AB a AC přidejte podle pravidla rovnoběžníku na vektor INZERÁT. Pak oblast trojúhelníku ABC je polovina plochy rovnoběžníku ABDCa oblast ABDC se rovná velikosti křížový produkt vektorů AB a AC. Tuto oblast lze také zobrazit jako vektor s touto velikostí, směřující ve směru kolmém na rovnoběžník; tento vektor je křížový produkt sám:

${ displaystyle { text {vektorová plocha rovnoběžníku}} ABCD = { vec {r}} (t) krát { vec {r}} (t + Delta t).}$

Proto

${ displaystyle { text {vektorová plocha trojúhelníku}} ABC = { frac {{ vec {r}} (t) times { vec {r}} (t + Delta t)} {2}}. }$

Plošná rychlost je tato vektorová plocha dělená Δt v limitu, že Δt se stává mizivě malým:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {areal velocity}} & = lim _ { Delta t rightarrow 0} { frac {{ vec {r}} (t) times { vec { r}} (t + Delta t)} {2 Delta t}} & = lim _ { Delta t rightarrow 0} { frac {{ vec {r}} (t) times { bigl (} { vec {r}} (t) + { vec {r}} , '(t) Delta t { bigr)}} {2 Delta t}} & = lim _ { Delta t rightarrow 0} { frac {{ vec {r}} (t) times { vec {r}} , '(t)} {2}} left ({ Delta t přes Delta t} vpravo) & = { frac {{ vec {r}} (t) krát { vec {r}} , '(t)} {2}}. end { zarovnaný}}}$

Ale, ${ displaystyle { vec {r}} , '(t)}$ je vektor rychlosti ${ displaystyle { vec {v}} (t)}$ pohybující se částice, takže

${ displaystyle { frac {d { vec {A}}} {dt}} = { frac {{ vec {r}} krát { vec {v}}} {2}}.}$

Na druhé straně je moment hybnosti částice

${ displaystyle { vec {L}} = { vec {r}} krát m { vec {v}},}$

a proto se moment hybnosti rovná 2m krát plošná rychlost.

Zachování plošné rychlosti je obecnou vlastností pohyb centrální síly,^[1] a v kontextu klasické mechaniky je ekvivalentní zachování momentu hybnosti.

Reference

• Moulton, F. R. (1970) [1914]. Úvod do nebeské mechaniky. Doveru. ISBN  978-0-486-64687-9.
• Goldstein, H. (1980). Klasická mechanika (2. vyd.). Addison-Wesley. ISBN  978-0-486-68063-7.
• Casey, J. (2007). "Plošná rychlost a moment hybnosti pro nerovinné problémy v mechanice částic". American Journal of Physics. 75 (8): 677–685. Bibcode:2007AmJPh..75..677C. doi:10.1119/1.2735630.
• Brackenridge, J. B. (1995). Klíč k Newtonově dynamice: Keplerův problém a Principia. Berkeley: University of California Press. doi:10,1525 / j.ctt1ppn2m. ISBN  978-0-520-20217-7.

Viz také

• Moment hybnosti
• Specifický moment hybnosti
• Eliptický souřadnicový systém