Schröder – Bernsteinova věta o měřitelných prostorech - Schröder–Bernstein theorem for measurable spaces

The Cantor – Bernstein – Schroederova věta z teorie množin má protějšek pro měřitelné prostory, někdy nazývané Borel Schroeder – Bernsteinova věta, protože měřitelné prostory se také nazývají Borelovy prostory. Tato věta, jejíž důkaz je docela snadný, je instrumentální, když dokazuje, že dva měřitelné prostory jsou izomorfní. Obecná teorie standardní Borelovy prostory obsahuje velmi silné výsledky o izomorfních měřitelných prostorech, viz Kuratowského věta. Avšak (a) druhou větu je velmi obtížné dokázat, (b) první věta je v mnoha důležitých případech uspokojivá (viz příklady), a (c) první věta se používá v důkazu druhé věty.

Věta

Nechat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ být měřitelné prostory. Pokud existují injektivní, neměřitelné mapy ${ displaystyle f: X až Y,}$ ${ displaystyle g: Y až X,}$ pak ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou izomorfní ( Vlastnost Schröder – Bernstein ).

Komentáře

Fráze "${ displaystyle f}$ je měřitelný “znamená, že zaprvé, ${ displaystyle f}$ je měřitelný (toto je preimage ${ displaystyle f ^ {- 1} (B)}$ je měřitelný pro každé měřitelné ${ displaystyle B podmnožina Y}$) a zadruhé obraz ${ displaystyle f (A)}$ je měřitelný pro každé měřitelné ${ displaystyle A podmnožina X}$. (Tím pádem, ${ displaystyle f (X)}$ musí být měřitelná podmnožina ${ displaystyle Y,}$ ne nutně celý ${ displaystyle Y.}$)

Izomorfismus (mezi dvěma měřitelnými prostory) je podle definice měřitelný bijekce. Pokud existuje, tyto měřitelné prostory se nazývají izomorfní.

Důkaz

Nejprve se postaví bijekce ${ displaystyle h: X až Y}$ mimo ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ přesně jako v důkaz věty Cantor – Bernstein – Schroeder. Druhý, ${ displaystyle h}$ je měřitelný, protože se shoduje s ${ displaystyle f}$ na měřitelném souboru a s ${ displaystyle g ^ {- 1}}$ na jeho doplnění. Podobně, ${ displaystyle h ^ {- 1}}$ je měřitelný.

Příklady

Ukázkové mapy F: (0,1) → [0,1] a G:[0,1]→(0,1).

Příklad 1

The otevřený interval (0, 1) a uzavřený interval [0, 1] jsou evidentně neizomorfní jako topologické prostory (to není homeomorfní ). Jsou však izomorfní jako měřitelné prostory. Uzavřený interval je evidentně izomorfní s kratším uzavřeným podintervalem otevřeného intervalu. Také otevřený interval je evidentně izomorfní s částí uzavřeného intervalu (například jen pro něj samotného).

Příklad 2

Skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ a letadlo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ jsou izomorfní jako měřitelné prostory. Vložit je okamžitě ${ displaystyle mathbb {R}}$ do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}.}$ Konverzace, vložení ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}.}$ do ${ displaystyle mathbb {R}}$ (jako měřitelné prostory samozřejmě ne jako topologické prostory) lze vytvořit známým trikem s rozptýlenými číslicemi; například,

G(π, 100e) = G(3.14159 265…, 271.82818 28…) = 20731.184218 51982 2685….

Mapa ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R}}$ je zjevně injekční. Je snadné zkontrolovat, zda je to měřitelné. (Není to však bijektivní; například číslo ${ displaystyle 1/11 = 0,090909 tečky}$ nemá formu ${ displaystyle g (x, y)}$).

Reference

• S.M. Srivastava, Kurz o souborech BorelSpringer, 1998.

Viz návrh 3.3.6 (na straně 96) a první odstavec oddílu 3.3 (na straně 94).