Vlastnost Schröder – Bernstein - Schröder–Bernstein property

A Vlastnost Schröder – Bernstein je jakákoli matematická vlastnost, která odpovídá následujícímu vzoru

Pokud, pro některé matematické objekty X a Y, oba X je obdobou části Y a Y je obdobou části X pak X a Y jsou si navzájem podobné.

Název Schröder – Bernstein (nebo Cantor – Schröder – Bernstein nebo Cantor – Bernstein) vlastnictví je analogicky k teorém stejného jména (z teorie množin).

Vlastnosti Schröder – Bernstein

Zrcadlové zrcadlové obrazy jako protiklad: Levý obrázek lze vložit do pravého a naopak (dole, vlevo / uprostřed); přesto nejsou oba podobné. Schröder-Bernsteinova věta aplikovaná na nestrukturované pixelové sady získákontinuální bijekce (vpravo).

Aby bylo možné definovat konkrétní Schröder – Bernsteinovu vlastnost, je třeba se rozhodnout

• co jsou to matematické objekty X a Y,
• co se rozumí „částí“,
• co se rozumí „podobným“.

V klasice (Cantor–) Schröder – Bernsteinova věta,

• objekty jsou sady (možná nekonečný ),
• "část" je interpretována jako a podmnožina,
• „podobné“ je interpretováno jako stejný počet.

Ne všechna tvrzení tohoto formuláře jsou pravdivá. Předpokládejme například, že

• objekty jsou trojúhelníky,
• "část" znamená trojúhelník uvnitř daného trojúhelníku,
• „podobný“ je v elementární geometrii interpretován jako obvykle: trojúhelníky spojené dilatací (jinými slovy „trojúhelníky se stejným tvarem až do měřítka“ nebo ekvivalentně „trojúhelníky se stejnými úhly“).

Pak prohlášení selže špatně: každý trojúhelník X je evidentně podobný nějakému trojúhelníku uvnitř Ya naopak; nicméně, X a Y nemusí být podobné.

Vlastnost Schröder – Bernstein je společným vlastnictvím

• třída předmětů,
• A binární relace "být součástí",
• binární vztah „být podobný“ (podobnost).

Místo relace „být součástí“ lze použít binární relaci „be embeddable into“ (vložitelnost) interpretovanou jako „be like to some part of“. Potom má vlastnost Schröder – Bernstein následující podobu.

Li X je zabudovatelný do Y a Y je zabudovatelný do X pak X a Y jsou podobní.

Totéž v jazyce teorie kategorií:

Pokud objekty X, Y jsou takové, že X vstřikuje do Y (formálněji existuje monomorfismus z X na Y) a také Y vstřikuje do X pak X a Y jsou izomorfní (formálněji existuje izomorfismus z X na Y).

Vztah „vstřikuje do“ je a předobjednávka (tj. reflexivní a tranzitivní relace) a „be isomorphic“ is an vztah ekvivalence. Vložitelnost je také obvykle předobjednávkou a podobnost je obvykle vztahem ekvivalence (což je přirozené, ale při absenci formálních definic není prokazatelné). Předobjednávka obecně vede k relaci ekvivalence a částečná objednávka mezi odpovídajícími třídy ekvivalence. Vlastnost Schröder – Bernstein tvrdí, že předobjednávka embeddability (za předpokladu, že se jedná o předobjednávku) vede k relaci ekvivalence podobnosti ak částečnému pořadí (nejen předobjednávce) mezi třídami podobných objektů.

Schröder – Bernsteinovy ​​problémy a Schröder – Bernsteinovy ​​věty

Problém rozhodování o tom, zda vlastnost Schröder – Bernstein (pro danou třídu a dva vztahy) platí či nikoli, se nazývá problém Schröder – Bernstein. Věta, která uvádí vlastnost Schröder – Bernstein (pro danou třídu a dva vztahy), čímž se kladně vyřeší problém Schröder – Bernstein, se nazývá Schröder – Bernsteinova věta (pro danou třídu a dva vztahy), nebýt zaměňována s klasickou (Cantor–) Schröder – Bernsteinovou větou zmíněnou výše.

The Schröder – Bernsteinova věta o měřitelných prostorech^[1] uvádí vlastnost Schröder – Bernstein pro následující případ:

• objekty jsou měřitelné prostory,
• „část“ je interpretována jako měřitelná podmnožina považovaná za měřitelný prostor,
• „podobné“ je interpretováno jako izomorfní.

V Schröder – Bernsteinova věta pro operátorové algebry,^[2]

• objekty jsou projekce v dané von Neumannově algebře;
• „část“ je interpretována jako dílčí projekce (tj. E je součástí F -li F – E je projekce);
• "E je podobný F" znamená, že E a F jsou počáteční a závěrečné projekce nějaké parciální izometrie v algebře (tj. E = V * V a F = VV * pro některé PROTI v algebře).

Vezmeme-li v úvahu, že komutativní von Neumannovy algebry úzce souvisí s měřitelnými prostory,^[3] lze říci, že Schröder – Bernsteinova věta pro operátorové algebry je v jistém smyslu nekomutativní protějšek Schröder – Bernsteinovy ​​věty pro měřitelné prostory.

The Věta o isomorfismu Myhill lze nahlížet jako na Schröder – Bernsteinovu větu v teorie vypočítatelnosti.

Banachovy prostory porušovat majetek Schröder – Bernstein;^[4][5] tady

• objekty jsou Banachovy prostory,
• „část“ je interpretována jako podprostor^[4] nebo doplněný podprostor,^[5]
• „podobné“ je interpretováno jako lineárně homeomorfní.

Mnoho dalších Schröder – Bernsteinových problémů souvisejících s různými mezery a algebraické struktury (skupiny, prstence, pole atd.) jsou diskutovány neformálními skupinami matematiků (viz Externí odkazy níže).

Poznámky

Viz také

• Komutativní von Neumannovy algebry

Reference

Tento článek včlení materiál z Citizendium článek "Vlastnost Schröder – Bernstein ", který je licencován pod Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License ale ne pod GFDL.

• Srivastava, S.M. (1998), Kurz o souborech BorelSpringer, ISBN  0-387-98412-7.
• Kadison, Richard V .; Ringrose, John R. (1986), Základy teorie operátorových algeber, IIAkademický tisk, ISBN  0-12-393302-1.
• Gowers, W.T. (1996), „Řešení problému Schroeder – Bernstein pro Banachovy prostory“, Býk. London Math. Soc., 28: 297–304, doi:10.1112 / blms / 28.3.297, hdl:10338.dmlcz / 127757.
• Casazza, P.G. (1989), „Schroeder – Bernsteinův majetek pro Banachovy prostory“, Kontemp. Matematika., 85: 61–78, doi:10.1090 / conm / 085/983381, PAN  0983381.

externí odkazy

• Téma a variace: Schroeder-Bernstein - Různé problémy Schröder – Bernstein jsou diskutovány ve skupinovém blogu 8 nedávných Ph.D. z Berkeley matematiky
• Kdy drží Cantor Bernstein? - „Mathoverflow“ pojednává o otázce z hlediska teorie kategorií: „Můžeme charakterizovat Cantor-Bernsteiness z hlediska dalších kategorických vlastností?“