Schneider – Langova věta - Schneider–Lang theorem

V matematice je Schneider – Langova věta je upřesnění od Lang (1966) věty o Schneider (1949) o transcendence hodnot meromorfní funkce. Věta implikuje jak Poustevník – Lindemann a Gelfond – Schneiderovy věty, a implikuje transcendenci některých hodnot eliptické funkce a eliptické modulární funkce.

Tvrzení

Opravit a pole s číslem $K.$ a meromorfní $F 1,\dots, F N$ , z nichž alespoň dva jsou algebraicky nezávislé a mají objednávky $ρ 1$ a $ρ 2$ a tak dále $F j' \in K. [F 1,\dots, F N]$ pro všechny $j$ . Pak jsou nanejvýš

{ displaystyle ( rho _ {1} + rho _ {2}) [K: mathbb {Q}]. ,}

odlišný komplexní čísla $ω 1,\dots, ω m$ takhle $F i (ω j)\in K.$ pro všechny kombinace $i$ a $j$ .

Příklady

Li $F 1 (z) = z$ a $F 2 (z) = E z$ pak věta implikuje Hermitova – Lindemannova věta že $E α$ je transcendentální pro nenulovou algebraiku $α$ : v opačném případě, $α, 2 α, 3 α, \dots$ by byl nekonečný počet hodnot, při kterých by obojí $F 1$ a $F 2$ jsou algebraické.
Podobně brát $F 1 (z) = E z$ a $F 2 (z) = E βz$ pro $β$ iracionální algebraická implikuje Gelfond – Schneiderova věta to když $α$ a $α β$ jsou tedy algebraické $α\in {0,1}$ : v opačném případě, $log (α), 2log (α), 3log (α), \dots$ by byl nekonečný počet hodnot, při kterých by obojí $F 1$ a $F 2$ jsou algebraické.
Připomeňme, že Funkce Weierstrass P. splňuje diferenciální rovnici

{ displaystyle wp '(z) ^ {2} = 4 wp (z) ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3}. ,}

Vezmeme-li tři funkce

z

,

℘(αz)

,

℘' (αz)

ukazuje, že pro jakoukoli algebraiku

α

, pokud

G 2 (α)

a

G 3 (α)

jsou tedy algebraické

℘(α)

je transcendentální.

Vezmeme-li funkce $z$ a $E f (z)$ pro polynom $F$ stupně $ρ$ ukazuje, že počet bodů, kde jsou všechny funkce algebraické, může s řádem lineárně růst $ρ = deg (F)$ .

Důkaz

Aby dokázal výsledek, vzal si Lang dvě algebraicky nezávislé funkce $F 1,\dots, F N$ řekněme $F$ a $G$ , a poté vytvořil pomocnou funkci $F \in K. [F, G]$ . Použitím Siegelovo lemma, pak ukázal, že by se dalo předpokládat $F$ zmizel ve vysoké objednávce u $ω 1, ..., ω m$ . Tedy derivát vysokého řádu $F$ bere hodnotu malé velikosti u jednoho takového $ω i$ s, "velikost" zde s odkazem na algebraická vlastnost čísla. Za použití princip maximálního modulu, Lang také našel samostatný odhad pro absolutní hodnoty derivátů $F$ . Standardní výsledky spojují velikost čísla a jeho absolutní hodnotu a kombinované odhady znamenají nárokovanou vazbu $m$ .

Bombieriho věta

Bombieri & Lang (1970) a Bombieri (1970) zobecnil výsledek na funkce několika proměnných. Bombieri ukázal, že pokud K. je algebraické číselné pole a F₁, ..., F_N jsou meromorfní funkce d komplexní proměnné řádu maximálně ρ generující pole K.( F₁, ..., F_N) alespoň stupně transcendence d + 1, která je uzavřena pod všemi částečnými derivacemi, pak množina bodů, kde jsou všechny funkce F_n mít hodnoty v K. je obsažen v algebraické hyperploše v C^d stupně nanejvýš

{ displaystyle d ((d + 1) rho [K: mathbb {Q}] +1).}

Waldschmidt (1979, věta 5.1.1) poskytla jednodušší důkaz Bombieriho věty s mírně silnější vazbou d(ρ₁+ ... + ρ_d+1)[K.:Q] pro stupeň, kde ρ_j jsou objednávky d+1 algebraicky nezávislé funkce. Zvláštní případ d = 1 dává Schneider – Langovu větu s mezí (ρ₁+ ρ₂)[K.:Q] pro počet bodů.

Příklad

Li p je polynom s celočíselnými koeficienty než funkcemi z₁,...,z_n,E^{p(z₁,...,z_n)} jsou všechny algebraické v husté sadě bodů nadpovrchu p=0.

Reference

Bombieri, Enrico (1970), „Algebraické hodnoty meromorfních map“, Inventiones Mathematicae, 10 (4): 267–287, doi:10.1007 / BF01418775, ISSN 0020-9910, PAN 0306201, Bombieri, Enrico (1970), „Dodatek k mé práci:„ Algebraické hodnoty meromorfních map “(Invent. Math. 10 (1970), 267–287)“, Inventiones Mathematicae, 11 (2): 163–166, doi:10.1007 / BF01404610, ISSN 0020-9910, PAN 0322203
Bombieri, Enrico; Lang, Serge (1970), „Analytické podskupiny skupinových odrůd“, Inventiones Mathematicae, 11: 1–14, doi:10.1007 / BF01389801, ISSN 0020-9910, PAN 0296028
Slang, "Úvod do transcendentních čísel„Addison – Wesley Publishing Company, (1966)
Lelong, Pierre (1971), „Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. Č. 384“, Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Poznámky k přednášce v matematice., 244, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 29–45, doi:10.1007 / BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, PAN 0414500
Schneider, Theodor (1949), „Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise“, Mathematische Annalen, 121: 131–140, doi:10.1007 / BF01329621, ISSN 0025-5831, PAN 0031498
Waldschmidt, Michel (1979), Nombres transcendents et groupes algébriques, Astérisque, 69, Paříž: Société Mathématique de France