Schildersova věta - Schilders theorem - Wikipedia

v matematika, Schilderova věta je výsledkem v teorie velkých odchylek z stochastické procesy. Zhruba řečeno, Schilderova věta poskytuje odhad pravděpodobnosti, že (zmenšená) cesta vzorku Brownův pohyb bude bloudit daleko od střední cesty (která je konstantní s hodnotou 0). Toto tvrzení je provedeno přesně pomocí rychlostní funkce. Schilderova věta je zobecněna pomocí Freidlin – Wentzellova věta pro Jsou to difúze.

Prohlášení

Nechat B být standardním Brownovým pohybem d-dimenzionální Euklidovský prostor R^d začínající na počátku, 0 ∈R^d; nechat Ž označit zákon z B, tj. klasický Wienerovo opatření. Pro ε > 0, nech Ž_ε označují zákon procesu se změněnou stupnicí √εB. Pak na Banachův prostor C₀ = C₀([0, T]; R^d) spojitých funkcí ${ displaystyle f: [0, T] longrightarrow mathbf {R} ^ {d}}$ takhle ${ displaystyle f (0) = 0}$, vybavené nadřazená norma ||·||_∞, pravděpodobnostní opatření Ž_ε uspokojit princip velkých odchylek s dobrou funkcí rychlosti Já : C₀ → R ∪ {+ ∞} zadáno

${ displaystyle I ( omega) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} | { dot { omega}} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t}$

-li ω je absolutně kontinuální, a Já(ω) = + ∞ jinak. Jinými slovy, pro každého otevřená sada G ⊆ C₀ a každý uzavřená sada F ⊆ C₀,

${ displaystyle limsup _ { varepsilon downarrow 0} varepsilon log mathbf {W} _ { varepsilon} (F) leq - inf _ { omega in F} I ( omega)}$

a

${ displaystyle liminf _ { varepsilon downarrow 0} varepsilon log mathbf {W} _ { varepsilon} (G) geq - inf _ { omega v G} I ( omega).}$

Příklad

Brát ε = 1/C², lze použít Schilderovu větu k získání odhadů pravděpodobnosti, že standardní Brownův pohyb B bloudí dále než C od jeho počátečního bodu v časovém intervalu [0,T], tj. pravděpodobnost

${ displaystyle mathbf {W} (C_ {0} smallsetminus mathbf {B} _ {c} (0; | cdot | _ { infty})) equiv mathbf {P} { velký [} | B | _ { infty}> c { big]},}$

tak jako C inklinuje k nekonečnu. Tady B_C(0; ||·||_∞) označuje otevřený míč poloměru C o nulové funkci v C₀, vzato s ohledem na nadřazená norma. Nejprve si to povšimněte

${ displaystyle | B | _ { infty}> c iff { sqrt { varepsilon}} B v A: = left { omega v C_ {0} mid | omega (t ) |> 1 { text {pro některé}} t v [0, T] vpravo }.}$

Protože je funkce rychlosti nepřetržitě zapnutá A, Schilderova věta se získá

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {c to infty} { frac { log left ( mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right ] right)} {c ^ {2}}} & = lim _ { varepsilon to 0} varepsilon log left ( mathbf {P} left [{ sqrt { varepsilon}} B v A right] right) [6pt] & = - inf left { left. { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} | { dot { omega}} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t , right | , omega in A right } [6pt] & = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} { frac {1} {T ^ {2}}} , mathrm {d} t [6pt] & = - { frac {1} {2T}}, end {zarovnáno}}}$

s využitím skutečnosti, že infimum přes cesty ve sbírce A je dosažen pro ω(t) = t ⁄ T. Tento výsledek lze heuristicky interpretovat tak, že to říká ve velkém C a / nebo velké T

${ displaystyle { frac { log left ( mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right] right)} {c ^ {2}}} přibližně - { frac {1} {2T}} qquad { text {or}} qquad mathbf {P} left [ | B | _ { infty}> c right] cca exp left (- { frac {c ^ {2}} {2T}} vpravo).}$

Ve skutečnosti lze výše uvedenou pravděpodobnost odhadnout přesněji: pro B standardní Brownův pohyb dovnitř Rⁿa jakékoli T, C a ε > 0, máme:

${ displaystyle mathbf {P} left [ sup _ {0 leq t leq T} left | { sqrt { varepsilon}} B_ {t} right | geq c right] leq 4n exp left (- { frac {c ^ {2}} {2nT ​​ varepsilon}} right).}$

Reference

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniky a aplikace velkých odchylek. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. str. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. PAN  1619036. (Viz věta 5.2)