Bifurkace sedlového uzlu - Saddle-node bifurcation
V matematický oblast teorie bifurkace A rozvětvení sedlového uzlu, tangenciální bifurkace nebo skládací rozdvojení je místní rozdvojení ve kterém dva pevné body (nebo rovnováhy ) a dynamický systém srazit se a zničit se navzájem. Termín „rozdvojení sedlového uzlu“ se nejčastěji používá v souvislosti s kontinuálními dynamickými systémy. V diskrétních dynamických systémech se stejná bifurkace často místo toho nazývá a skládací rozdvojení. Jiné jméno je rozdvojení modré oblohy v souvislosti s náhlým vytvořením dvou pevných bodů.[1]
Pokud je fázový prostor jednorozměrný, je jeden z rovnovážných bodů nestabilní (sedlo), zatímco druhý je stabilní (uzel).
Může se jednat o bifurkace sedlového uzlu hysterezní smyčky a katastrofy.
Normální forma
Typickým příkladem diferenciální rovnice s bifurkací sedlového uzlu je:
Tady je stavová proměnná a je parametr bifurkace.
- Li existují dva rovnovážné body, stabilní rovnovážný bod v a nestabilní v .
- Na (bifurkační bod) existuje přesně jeden rovnovážný bod. V tomto bodě pevný bod již není hyperbolický. V tomto případě se pevný bod nazývá pevný bod sedlového uzlu.
- Li neexistují žádné rovnovážné body.[2]
Ve skutečnosti se jedná o normální forma rozdvojení sedlového uzlu. Skalární diferenciální rovnice který má pevný bod na pro s je lokálně topologicky ekvivalentní na , pokud to vyhovuje a . První podmínkou je podmínka nedgenerace a druhou podmínkou je podmínka transverzality.[3]
Příklad ve dvou rozměrech
Příklad bifurkace sedlového uzlu ve dvou dimenzích se vyskytuje v dvourozměrném dynamickém systému:
Jak je vidět na animaci získané vykreslením fázových portrétů změnou parametru ,
- Když je záporné, neexistují žádné rovnovážné body.
- Když , je bod sedlového uzlu.
- Když je kladné, existují dva rovnovážné body: tj. jeden sedlový bod a jeden uzel (buď přitahovač, nebo odpuzovač).
K rozdvojení sedlového uzlu dochází také v rovnici spotřebitele (viz transkritická bifurkace ) pokud se změní doba spotřeby z na , tj. míra spotřeby je konstantní a není úměrná zdroji .
Další příklady jsou v modelování biologických přepínačů.[4] Nedávno se ukázalo, že za určitých podmínek mají Einsteinovy polní rovnice obecné relativity stejnou formu jako fold bifurkace.[5] Byla také studována neautonomní verze bifurkace sedlového uzlu (tj. Parametr je závislý na čase).[6]
Viz také
Poznámky
- ^ Strogatz 1994, str. 47.
- ^ Kuzněcov 1998, str. 80–81.
- ^ Kuzněcov 1998 Věty 3.1 a 3.2.
- ^ Chong, Ket Hing; Samarasinghe, Sandhya; Kulasiri, Don; Zheng, Jie (2015). Výpočtové techniky v matematickém modelování biologických přepínačů. 21. mezinárodní kongres o modelování a simulaci. hdl:10220/42793.
- ^ Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C (2018). "Einsteinovy polní rovnice jako rozdvojení záhybu". Journal of Geometry and Physics. 123: 434–7. arXiv:1607.05300. Bibcode:2018JGP ... 123..434K. doi:10.1016 / j.geomphys.2017.10.001.
- ^ Li, Jeremiah H .; Ye, Felix X. -F .; Qian, Hong; Huang, Sui (01.08.2019). „Časově závislá bifurkace sedlo-uzel: Čas zlomu a bod bez návratu v neautonomním modelu kritických přechodů“. Physica D: Nelineární jevy. 395: 7–14. arXiv:1611.09542. doi:10.1016 / j.physd.2019.02.005. ISSN 0167-2789.
Reference
- Kuzněcov, Jurij A. (1998). Základy teorie aplikované bifurkace (Druhé vydání.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
- Strogatz, Steven H. (1994). Nelineární dynamika a chaos. Addison Wesley. ISBN 0-201-54344-3.
- Weisstein, Eric W. „Fold Bifurcation“. MathWorld.
- Chong, K. H .; Samarasinghe, S .; Kulasiri, D .; Zheng, J. (2015). Výpočetní techniky v matematickém modelování biologických přepínačů. In Weber, T., McPhee, M.J. a Anderssen, R.S. (eds) MODSIM2015, 21. mezinárodní kongres o modelování a simulaci (MODSIM 2015). Modeling and Simulation Society of Australia and New Zealand, December 2015, pp. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
- Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018). Einsteinovy polní rovnice jako rozdvojení skládání. Journal of Geometry and Physics Volume 123, leden 2018, strany 434-437.