Rozbočení vidle - Pitchfork bifurcation

v teorie bifurkace, pole uvnitř matematika, a rozdvojení vidle je konkrétní typ místních rozdvojení kde systém přechází z jednoho pevného bodu do tří pevných bodů. Pitchfork rozdvojení, jako Hopf rozdvojení mají dva typy - superkritické a podkritické.

V spojitých dynamických systémech popsaných ODR - tj. toky - rozdvojení vidle se vyskytují obecně v systémech s symetrie.

Superkritický případ

Superkritický případ: plné čáry představují stabilní body, zatímco tečkovaná čára představuje nestabilní.

The normální forma superkritického rozdvojení vidle je

{displaystyle {frac {dx} {dt}} = rx-x ^ {3}.}

Pro ${displaystyle r <0}$ , existuje jedna stabilní rovnováha v ${displaystyle x = 0}$ . Pro ${displaystyle r> 0}$ existuje nestabilní rovnováha v ${displaystyle x = 0}$ a dvě stabilní rovnováhy v ${displaystyle x = pm {sqrt {r}}}$ .

Podkritický případ

Podkritický případ: plná čára představuje stabilní bod, zatímco tečkované čáry představují nestabilní.

The normální forma pro podkritický případ je

{displaystyle {frac {dx} {dt}} = rx + x ^ {3}.}

V tomto případě pro ${displaystyle r <0}$ rovnováha v ${displaystyle x = 0}$ je stabilní a existují dvě nestabilní rovnováhy v ${displaystyle x = pm {sqrt {-r}}}$ . Pro ${displaystyle r> 0}$ rovnováha v ${displaystyle x = 0}$ je nestabilní.

Formální definice

ODR

{displaystyle {dot {x}} = f (x, r),}

popsáno funkcí s jedním parametrem ${displaystyle f (x, r)}$ s ${displaystyle rin mathbb {R}}$ uspokojující:

{displaystyle -f (x, r) = f (-x, r) ,,}

(f je lichá funkce ),

{displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné f} {částečné x}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {částečné ^ {3} f} {částečné x ^ {3}}} (0, r_ {0}) & ekv. 0, [5pt] {frac { částečné f} {částečné r}} (0, r_ {0}) & = 0, & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné rpartiální x}} (0, r_ {0}) & eq 0.end { zarovnaný}}}

má rozdvojení vidle na ${displaystyle (x, r) = (0, r_ {0})}$ . Forma vidle je dána znamením třetí derivace:

{displaystyle {frac {částečné ^ {3} f} {částečné x ^ {3}}} (0, r_ {0}) {egin {cases} <0, & {ext {supercritical}} > 0, & { ext {subcritical}} end {cases}} ,,}

Všimněte si, že podkritické a superkritické popisují stabilitu vnějších čar vidle (přerušované nebo plné) a nejsou závislé na tom, kterým směrem vidle stojí. Například zápor prvního ODE výše, ${displaystyle {dot {x}} = x ^ {3} -rx}$ , směřuje stejným směrem jako první snímek, ale obrátí stabilitu.

Viz také

Reference

Steven Strogatz, Nelineární dynamika a chaos: S aplikacemi ve fyzice, biologii, chemii a inženýrství, Perseus Books, 2000.
S. Wiggins, Úvod do aplikovaných nelineárních dynamických systémů a chaosuSpringer-Verlag, 1990.