Rota – Baxterova algebra - Rota–Baxter algebra

v matematika, a Rota – Baxterova algebra je asociativní algebra, spolu s konkrétním lineární mapa R který vyhovuje Identita Rota – Baxter. Poprvé se objevila v díle amerického matematika Glen E. Baxter^[1] v říši teorie pravděpodobnosti. Baxterova práce byla dále zkoumána z různých úhlů Gian-Carlo Rota,^[2]^[3]^[4] Pierre Cartier,^[5] a Frederic V. Atkinson,^[6] mezi ostatními. Baxterova derivace této identity, která později nesla jeho jméno, vycházela z některých základních výsledků slavného pravděpodobnostního Frank Spitzer v náhodná procházka teorie.^[7]^[8]

V 80. letech byl znovuobjeven operátor Rota-Baxter o hmotnosti 0 v kontextu Lieových algeber jako operátorská forma klasické Yang-Baxterova rovnice,^[9] pojmenoval podle známých fyziků Chen-Ning Yang a Rodney Baxter.

Studium Rota – Baxterových algeber prošlo v tomto století renesancí, počínaje několika vývojovými trendy, v algebraickém přístupu k renormalizaci poruchové kvantové teorie pole,^[10] dendriformní algebry, asociativní analog klasické Yang-Baxterovy rovnice^[11] a míchatelné konstrukce míchaných produktů.^[12]

Definice a první vlastnosti

Nechat k být komutativní prsten a nechat ${displaystyle lambda}$ být dán. Lineární operátor R na k-algebra A se nazývá a Provozovatel váhy Rota – Baxter ${displaystyle lambda}$ pokud vyhovuje Váhový poměr Rota – Baxter ${displaystyle lambda}$ :

{displaystyle R (x) R (y) = R (R (x) y) + R (xR (y)) + lambda R (xy)}

pro všechny ${displaystyle x, yin A}$ . Pak dvojice ${displaystyle (A, R)}$ nebo jednoduše A se nazývá a Rota – Baxterova algebra hmotnosti ${displaystyle lambda}$ . V některé literatuře ${displaystyle heta = -lambda}$ V takovém případě se použije výše uvedená rovnice

{displaystyle R (x) R (y) + heta R (xy) = R (R (x) y) + R (xR (y)),}

volal Rota-Baxterova rovnice hmotnosti ${displaystyle heta}$ . Používají se také termíny Baxterova operátorová algebra a Baxterova algebra.

Nechat ${displaystyle R}$ být váhou Rota – Baxter ${displaystyle lambda}$ . Pak ${displaystyle -lambda Id-R}$ je také provozovatelem váhy Rota – Baxter ${displaystyle lambda}$ . Dále pro ${displaystyle mu}$ v k, ${displaystyle mu R}$ je provozovatelem hmotnosti Rota-Baxter ${displaystyle mu lambda}$ .

Příklady

Integrace po částech

Integrace po částech je příkladem Rota – Baxterovy algebry o hmotnosti 0. Let ${displaystyle C (R)}$ být algebrou spojité funkce od skutečné linie ke skutečné linii. Nechť: ${displaystyle f (x) v C (R)}$ být spojitou funkcí. Definovat integrace jako operátor Rota – Baxter

{displaystyle I (f) (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt ;.}

Nechat G (x) = I (g) (x) a F (x) = I (f) (x). Potom lze vzorec pro integraci pro součásti zapsat z hlediska těchto proměnných jako

{displaystyle F (x) G (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) G (t) dt + int _ {0} ^ {x} F (t) g (t) dt ;. }

Jinými slovy

{displaystyle I (f) (x) I (g) (x) = I (fI (g) (t)) (x) + I (I (f) (t) g) (x) ;,}

což ukazuje Já je algebra Rota – Baxter o hmotnosti 0.

Spitzer identita

Objevená identita Spitzera je pojmenována po americkém matematikovi Frank Spitzer. Je považován za pozoruhodný odrazový můstek v teorii součtů nezávislých náhodných proměnných v teorii fluktuace pravděpodobnosti. Lze jej přirozeně chápat ve smyslu operátorů Rota – Baxter.

Bohnenblust – Spitzer identita

Poznámky

^ Baxter, G. (1960). „Analytický problém, jehož řešení vyplývá z jednoduché algebraické identity“. Pacific J. Math. 10 (3): 731–742. doi:10.2140 / pjm.1960.10.731. PAN 0119224.
^ Rota, G.-C. (1969). „Baxterovy algebry a kombinatorické identity, I, II“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 75 (2): 325–329. doi:10.1090 / S0002-9904-1969-12156-7.; tamtéž. 75, 330–334, (1969). Přetištěno v: Gian-Carlo Rota o Combinatorics: Úvodní články a komentářeJ. P. S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
^ G.-C. Rota, Provozovatelé společnosti Baxter, úvod, V: Gian-Carlo Rota o kombinatorice, úvodních příspěvcích a komentářích, J.P.S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
^ G.-C. Rota a D. Smith, Teorie fluktuace a Baxterovy algebry„Instituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179–201, (1972). Přetištěno v: Gian-Carlo Rota o Combinatorics: Úvodní články a komentářeJ. P. S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
^ Cartier, P. (1972). „O struktuře volných Baxterových algeber“. Pokroky v matematice. 9 (2): 253–265. doi:10.1016/0001-8708(72)90018-7.
^ Atkinson, F. V. (1963). „Některé aspekty Baxterovy funkční rovnice“. J. Math. Anální. Appl. 7: 1–30. doi:10.1016 / 0022-247X (63) 90075-1.
^ Spitzer, F. (1956). „Kombinatorické lemma a jeho aplikace na teorii pravděpodobnosti“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 82 (2): 323–339. doi:10.1090 / S0002-9947-1956-0079851-X.
^ Spitzer, F. (1976). "Zásady náhodných procházek". Postgraduální texty z matematiky. 34 (Druhé vydání.). New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Semenov-Tian-Shansky, MA (1983). „Co je to klasika r-matice?". Func. Anální. Appl. 17 (4): 259–272. doi:10.1007 / BF01076717.
^ Connes, A .; Kreimer, D. (2000). „Renormalizace v teorii kvantového pole a Riemann-Hilbertův problém. I. Hopfova algebraová struktura grafů a hlavní věta“. Comm. Matematika. Phys. 210 (1): 249–273. arXiv:hep-th / 9912092. doi:10,1007 / s002200050779.
^ Aguiar, M. (2000). "Infinitezimální Hopfovy algebry". Kontemp. Matematika. Současná matematika. 267: 1–29. doi:10.1090 / conm / 267/04262. ISBN 9780821821268.
^ Guo, L .; Keigher, W. (2000). „Baxterovy algebry a náhodné produkty“. Adv. Matematika. 150: 117–149. arXiv:matematika / 0407155. doi:10.1006 / aima.1999.1858.

externí odkazy

Li Guo. CO JE ... Rota-Baxterova algebra? Sdělení AMS, prosinec 2009, svazek 56, vydání 11

[1] Baxter, G. (1960). „Analytický problém, jehož řešení vyplývá z jednoduché algebraické identity“. Pacific J. Math. 10 (3): 731–742. doi:10.2140 / pjm.1960.10.731. PAN 0119224.

[2] Rota, G.-C. (1969). „Baxterovy algebry a kombinatorické identity, I, II“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 75 (2): 325–329. doi:10.1090 / S0002-9904-1969-12156-7.; tamtéž. 75, 330–334, (1969). Přetištěno v: Gian-Carlo Rota o Combinatorics: Úvodní články a komentářeJ. P. S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.

[3] G.-C. Rota, Provozovatelé společnosti Baxter, úvod, V: Gian-Carlo Rota o kombinatorice, úvodních příspěvcích a komentářích, J.P.S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.

[4] G.-C. Rota a D. Smith, Teorie fluktuace a Baxterovy algebry„Instituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179–201, (1972). Přetištěno v: Gian-Carlo Rota o Combinatorics: Úvodní články a komentářeJ. P. S. Kung Ed., Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.

[5] Cartier, P. (1972). „O struktuře volných Baxterových algeber“. Pokroky v matematice. 9 (2): 253–265. doi:10.1016/0001-8708(72)90018-7.

[6] Atkinson, F. V. (1963). „Některé aspekty Baxterovy funkční rovnice“. J. Math. Anální. Appl. 7: 1–30. doi:10.1016 / 0022-247X (63) 90075-1.

[7] Spitzer, F. (1956). „Kombinatorické lemma a jeho aplikace na teorii pravděpodobnosti“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 82 (2): 323–339. doi:10.1090 / S0002-9947-1956-0079851-X.

[8] Spitzer, F. (1976). "Zásady náhodných procházek". Postgraduální texty z matematiky. 34 (Druhé vydání.). New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[9] Semenov-Tian-Shansky, MA (1983). „Co je to klasika r-matice?". Func. Anální. Appl. 17 (4): 259–272. doi:10.1007 / BF01076717.

[10] Connes, A .; Kreimer, D. (2000). „Renormalizace v teorii kvantového pole a Riemann-Hilbertův problém. I. Hopfova algebraová struktura grafů a hlavní věta“. Comm. Matematika. Phys. 210 (1): 249–273. arXiv:hep-th / 9912092. doi:10,1007 / s002200050779.

[11] Aguiar, M. (2000). "Infinitezimální Hopfovy algebry". Kontemp. Matematika. Současná matematika. 267: 1–29. doi:10.1090 / conm / 267/04262. ISBN 9780821821268.

[12] Guo, L .; Keigher, W. (2000). „Baxterovy algebry a náhodné produkty“. Adv. Matematika. 150: 117–149. arXiv:matematika / 0407155. doi:10.1006 / aima.1999.1858.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]