Lema vycházejícího slunce - Rising sun lemma - Wikipedia
v matematická analýza, lemma vycházejícího slunce je lemma kvůli Frigyes Riesz, použitý v dokladu o Hardy – Littlewoodova věta o maximu. Lema byla předchůdcem jedné dimenze Calderón – Zygmundovo lemma.[1]
Lema je uvedena takto:[2]
- Předpokládat G je reálná spojitá funkce na intervalu [A,b] a S je sada X v [A,b] tak, že existuje a y∈(X,b] s G(y) > G(X). (Všimněte si, že b nemůže být v S, ačkoli A může být.) Definovat E = S ∩ (A,b).
- Pak E je otevřená množina a lze ji zapsat jako spočetné sjednocení disjunktních intervalů
- takhle G(Ak) = G(bk), pokud Ak = A ∈ S pro některé k, v jakém případě G(A) < G(bk) pro tenhle k. Kromě toho, pokud X ∈ (Ak,bk), pak G(X) < G(bk).
Barevný název lemmatu pochází z představy grafu funkce G jako hornatá krajina se sluncem vodorovně svítícím zprava. Sada E skládají se z bodů, které jsou ve stínu.
Důkaz
Potřebujeme lemma: Předpokládejme [C,d) ⊂ S, ale d ∉ S. Pak G(C) < G(d). Chcete-li to dokázat, předpokládejme G(C) ≥ G(d).Pak G dosáhne svého maxima dne [C,d] v určitém okamžiku z < d.Od té doby z ∈ S, tady je y v (z,b] s G(z) < G(y). Li y ≤ d, pak G nedosáhne svého maxima dne [C,d] v z.Tím pádem, y ∈ (d,b], a G(d) ≤ G(z) < G(y).Tohle znamená tamto d ∈ S, což je rozpor, čímž se vytváří lemma.
Sada E je otevřené, takže se skládá z počitatelného sjednocení disjunktních intervalů (Ak,bk).
Z lemmatu to okamžitě vyplývá G(X) < G(bk) pro X v (Ak,bk).Od té doby G je kontinuální, musíme také mít G(Ak) ≤ G(bk).
Li Ak ≠ A nebo A ∉ S, pak Ak ∉ S, tak G(Ak) ≥ G(bk), jinak Ak ∈ S. Tím pádem, G(Ak) = G(bk) v těchto případech.
Nakonec, pokud Ak = A ∈ S, lema nám to říká G(A) < G(bk).
Poznámky
- ^ Stein 1998
- ^ Vidět:
- Riesz 1932
- Zygmund 1977, str. 31
- Tao 2011, str. 118–119
- Duren 1970, Příloha B
Reference
- Duren, Peter L. (2000), Teorie Hstr Prostory, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-41184-2
- Garling, D.J.H. (2007), Nerovnosti: cesta k lineární analýze, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69973-0
- Korenovskyy, A. A .; A. K. Lerner; A. M. Stokolos (listopad 2004), „O vícerozměrné formě lemmatu„ vycházejícího slunce “F. Riesze, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (5): 1437–1440, doi:10.1090 / S0002-9939-04-07653-1
- Riesz, Frédéric (1932), „Sur un Théorème de Maximum de Mm. Hardy et Littlewood“, Journal of the London Mathematical Society, 7 (1): 10–13, doi:10.1112 / jlms / s1-7.1.10, vyvoláno 2008-07-21
- Stein, Elias (1998), „Singulární integrály: Role Calderóna a Zygmunda“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 45 (9): 1130–1140.
- Tao, Terence (2011), Úvod do teorie měření, Postgraduální studium matematiky, 126Americká matematická společnost, ISBN 978-0821869192
- Zygmund, Antoni (1977), Trigonometrická řada. Sv. I, II (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-07477-0