Calderón – Zygmundovo lemma - Calderón–Zygmund lemma

v matematika, Calderón – Zygmundovo lemma je zásadním výsledkem v Fourierova analýza, harmonická analýza, a singulární integrály. Je pojmenován pro matematiky Alberto Calderón a Antoni Zygmund.

Vzhledem k integrovatelná funkce  F  : R^d → C, kde R^d označuje Euklidovský prostor a C označuje komplexní čísla, lemma dává přesný způsob rozdělení R^d do dvou sady: jeden kde  F  je v podstatě malý; druhý a počitatelný sbírka kostek kde  F  je v zásadě velký, ale kde je zachována určitá kontrola funkce.

To vede k přidruženému Calderón – Zygmundův rozklad z  F , kde  F  se zapisuje jako součet funkcí „dobré“ a „špatné“ pomocí výše uvedených sad.

Krycí lemma

Nechat  F  : R^d → C být integrovatelný a α být kladnou konstantou. Pak existuje otevřená množina Ω takové, že:

(1) Ω je disjunktní unie otevřených kostek, Ω = ∪_k Q_k, tak, že pro každého Q_k,

${displaystyle alpha leq {frac {1} {m (Q_ {k})}} int _ {Q_ {k}} | f (x) |, dxleq 2 ^ {d} alfa.}$

(2) | F (X)| ≤ α téměř všude v doplňku F z Ω.

Calderón – Zygmundův rozklad

Dáno  F  jak je uvedeno výše, můžeme psát  F  jako součet „dobré“ funkce G a „špatná“ funkce b,  F  = G + b. K tomu definujeme

${displaystyle g (x) = {egin {cases} f (x), & xin F, {frac {1} {m (Q_ {j})}} int _ {Q_ {j}} f (t), dt , & xin Q_ {j}, konec {případů}}}$

a nechte b =  F  − G. Proto to máme

${displaystyle b (x) = 0, xin F}$

${displaystyle {frac {1} {m (Q_ {j})}} int _ {Q_ {j}} b (x), dx = 0}$

pro každou kostku Q_j.

Funkce b je tedy podporován na kolekci kostek, kde  F  je povoleno být „velký“, ale má tu výhodu, že jeho průměrná hodnota je na každé z těchto kostek nulová. Mezitím, |G(X)| ≤ α téměř pro každého X v Fa na každé krychli dovnitř Ω, G se rovná průměrné hodnotě  F  přes tuto kostku, která podle zvolené krytiny není větší než 2^dα.

Viz také

• Singulární integrální operátory konvolučního typu, pro důkaz a aplikaci lemmatu v jedné dimenzi.

Reference

• Calderon A. P., Zygmund, A. (1952), „O existenci určitých singulárních integrálů“, Acta Math, 88: 85–139CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Hörmander, Larsi (1990), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů, I. Teorie distribuce a Fourierova analýza (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-X
• Stein, Elias (1970). „Kapitoly I – II“. Singulární integrály a vlastnosti odlišitelnosti funkcí. Princeton University Press.