Věta o Ramanujanech - Ramanujans master theorem - Wikipedia

v matematika, Ramanujanova hlavní věta (pojmenoval podle Srinivasa Ramanujan^[1]) je technika, která poskytuje analytický výraz pro Mellinova transformace z analytická funkce.

Stránka z Ramanujanova zápisníku uvádějící jeho Mistrovu větu.

Výsledek je uveden následovně:

Pokud je to funkce s komplexní hodnotou ${ displaystyle f (x)}$ má rozšíření formuláře

${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {, varphi (k) ,} {k!}} (- x) ^ {k}}$

pak Mellinova transformace z ${ displaystyle f (x)}$ darováno

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} , f (x) , operatorname {d} x = gama (s) , varphi (-s)}$

kde ${ Displaystyle Gama (y)}$ je funkce gama.

To bylo široce používáno Ramanujanem pro výpočet určitých integrálů a nekonečná řada.

Vyšší dimenzionální verze této věty se také objevují v kvantová fyzika (přes Feynmanovy diagramy ).^[2]

Podobného výsledku dosáhl také Glaisher.^[3]

Alternativní formalismus

Alternativní formulace hlavní věty Ramanujan je následující:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} , left (, lambda (0) -x , lambda (1) + x ^ {2} , lambda (2) - , cdots , right) , operatorname {d} x = { frac { pi} {, sin ( pi s) ,}} , lambda ( -s)}$

který se po nahrazení převede na výše uvedený formulář ${ displaystyle lambda (n) equiv { frac { varphi (n)} {, gama (1 + n) ,}}}$ a použití funkční rovnice pro funkce gama.

Integrál výše je konvergentní pro ${ displaystyle 0 <{ mathcal {Re}} (s) <1}$ s výhradou podmínek růstu dne ${ displaystyle varphi}$.^[4]

Důkaz

Důkaz podléhající „přirozeným“ předpokladům (i když ne nejslabším nezbytným podmínkám) Ramanujanovy hlavní věty poskytl G. H. Hardy^[5] zaměstnává věta o zbytku a dobře známé Mellinova věta o inverzi.

Aplikace na Bernoulliho polynomy

Generující funkce Bernoulliho polynomy ${ displaystyle B_ {k} (x)}$ darováno:

${ displaystyle { frac {z , e ^ {x , z}} {, e ^ {z} -1 ,}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} B_ {k } (x) , { frac {z ^ {k}} {k!}}}$

Tyto polynomy jsou uvedeny v podmínkách Funkce Hurwitz zeta:

${ displaystyle zeta (s, a) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {, (n + a) ^ {s} ,}}}$

podle ${ displaystyle ~ zeta (1-n, a) = - { frac {B_ {n} (a)} {n}} ~}$ pro ${ displaystyle ~ n geq 1 ~}$Použitím hlavní věty Ramanujan a funkce generování Bernoulliho polynomů má jeden následující integrální zastoupení:^[6]

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} , left ({ frac {e ^ {- ax}} {, 1-e ^ {- x} , }} - { frac {1} {x}} vpravo) , operatorname {d} x = Gamma (s) , zeta (s, a) !}$

který platí pro ${ displaystyle ~ 0 <{ mathcal {Re}} (y) <1 ~}$.

Aplikace na funkci Gamma

Weierstrassova definice funkce gama

${ displaystyle Gamma (x) = { frac {, e ^ {- gamma , x ,}} {x}} , prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo ( , 1 + { frac {x} {n}} , right) ^ {- 1} e ^ {x / n} !}$

je ekvivalentní výrazu

${ displaystyle log Gamma (1 + x) = - gamma , x + součet _ {k = 2} ^ { infty} { frac {, zeta (k) ,} {k}} , (- x) ^ {k}}$

kde ${ displaystyle zeta (k)}$ je Funkce Riemann zeta.

Poté použijeme hlavní větu Ramanujan a máme:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {s-1} { frac {, gamma , x + log gamma (1 + x) ,} {x ^ {2} }} operatorname {d} x = { frac { pi} { sin ( pi s)}} { frac { zeta (2-s)} {2-s}} !}$

platný pro ${ displaystyle 0 <{ mathcal {Re}} (s) <1}$.

Zvláštní případy ${ displaystyle s = { frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle s = { frac {3} {4}}}$ jsou

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {, gamma x + log Gamma (1 + x) ,} {x ^ {5/2}}} , operatorname { d} x = { frac {2 pi} {3}} , zeta left ({ frac {3} {2}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {, gamma , x + log gamma (1 + x) ,} {x ^ {9/4}}} , operatorname {d} x = { sqrt {2}} { frac {4 pi} {5}} zeta left ({ frac {5} {4}} right)}$

Reference

externí odkazy

• „Ramanujan's Master Theorem“. mathworld.wolfram.com.
• "rmt" (PDF). ArminStraub. publikace.