Recesní kužel - Recession cone - Wikipedia

v matematika, zvláště konvexní analýza, recesní kužel sady ${ displaystyle A}$ je kužel obsahující vše vektory takhle ${ displaystyle A}$ ustupuje v tomto směru. To znamená, že sada se táhne směrem ven ve všech směrech daných recesním kuželem.^[1]

Matematická definice

Vzhledem k neprázdné sadě ${ displaystyle A podmnožina X}$ pro některé vektorový prostor ${ displaystyle X}$, pak recesní kužel ${ displaystyle operatorname {recc} (A)}$ darováno

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {y v X: forall x v A, forall lambda geq 0: x + lambda y v A }.}$^[2]

Li ${ displaystyle A}$ je navíc a konvexní sada pak může být recesní kužel ekvivalentně definován

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {y v X: pro všechny x v A: x + y v A }.}$^[3]

Li ${ displaystyle A}$ je neprázdné Zavřeno konvexní množina, pak lze recesní kužel ekvivalentně definovat jako

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = bigcap _ {t> 0} t (A-a)}$ pro jakoukoli volbu ${ displaystyle a v A.}$^[3]

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle A}$ je tedy neprázdná množina ${ displaystyle 0 in operatorname {recc} (A)}$.
• Li ${ displaystyle A}$ je tedy neprázdná konvexní množina ${ displaystyle operatorname {recc} (A)}$ je konvexní kužel.^[3]
• Li ${ displaystyle A}$ je neprázdná uzavřená konvexní podmnožina konečně-dimenzionálního Hausdorffův prostor (např. ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$), pak ${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {0 }}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A}$ je omezený.^[1][3]
• Li ${ displaystyle A}$ je tedy neprázdná množina ${ displaystyle A + operatorname {recc} (A) = A}$ kde součet označuje Minkowského doplnění.

Vztah k asymptotickému kužele

The asymptotický kužel pro ${ displaystyle C subseteq X}$ je definováno

${ displaystyle C _ { infty} = {x v X: existuje (t_ {i}) _ {i v I} podmnožina (0, infty), existuje (x_ {i}) _ { i in I} podmnožina C: t_ {i} až 0, t_ {i} x_ {i} až x }.}$^[4][5]

Podle definice lze snadno ukázat, že ${ displaystyle operatorname {recc} (C) subseteq C _ { infty}.}$^[4]

V konečně-dimenzionálním prostoru pak lze ukázat, že ${ displaystyle C _ { infty} = operatorname {recc} (C)}$ -li ${ displaystyle C}$ je neprázdná, uzavřená a konvexní.^[5] V nekonečně-dimenzionálních prostorech je pak vztah mezi asymptotickými kužely a kužely recese komplikovanější a vlastnosti jejich ekvivalence jsou shrnuty v.^[6]

Součet uzavřených množin

• Dieudonného věta: Nechte neprázdné uzavřené konvexní množiny ${ displaystyle A, B podmnožina X}$ A lokálně konvexní prostor, pokud ano ${ displaystyle A}$ nebo ${ displaystyle B}$ je místně kompaktní a ${ displaystyle operatorname {recc} (A) cap operatorname {recc} (B)}$ je lineární podprostor, pak ${ displaystyle A-B}$ je zavřený.^[7][3]
• Nechte neprázdné uzavřené konvexní množiny ${ displaystyle A, B podmnožina mathbb {R} ^ {d}}$ takový, že pro každého ${ displaystyle y in operatorname {recc} (A) zpětné lomítko {0 }}$ pak ${ displaystyle -y not in operatorname {recc} (B)}$, pak ${ displaystyle A + B}$ je zavřený.^[1][4]

Viz také

• Bariérový kužel

Reference