Bariérový kužel - Barrier cone

v matematika konkrétně funkční analýza, bariérový kužel je kužel přidružené k jakékoli neprázdné podmnožině a Banachův prostor. Úzce souvisí s pojmy podpůrné funkce a polární sady.

Definice

Nechat X být Banachovým prostorem a nechat K. být neprázdnou podmnožinou X. The bariérový kužel z K. je podmnožina b(K.) z X^∗, nepřetržitý duální prostor z X, definován

${ displaystyle b (K): = vlevo { ell v X ^ { ast} , vlevo | , sup _ {x v K} langle ell, x rangle <+ infty right. right }.}$

Související pojmy

Funkce

${ displaystyle sigma _ {K} tlustý ell mapsto sup _ {x v K} langle ell, x rangle,}$

definované pro každého spojité lineární funkční ℓ na X, je známý jako podpůrná funkce sady K.; tedy bariérový kužel z K. je přesně sada spojitých lineárních funkcionálů ℓ pro který σ_K.(ℓ) je konečný.

Sada spojitých lineárních funkcionálů ℓ pro který σ_K.(ℓ) ≤ 1 se označuje jako polární sada z K.. Sada spojitých lineárních funkcionálů ℓ pro který σ_K.(ℓ) ≤ 0 se označuje jako (negativní) polární kužel z K.. Je zřejmé, že jak polární množina, tak záporný polární kužel jsou podmnožinami bariérového kuželu.

Reference

• Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (2009). Set-Valued Analysis (Dotisk edice z roku 1990). Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc. str. Xx + 461. ISBN  978-0-8176-4847-3. PAN  2458436.