Základní funkce Raviart – Thomas - Raviart–Thomas basis functions

V aplikované matematice Základní funkce Raviart – Thomas jsou vektor základní funkce použito v konečný element a metody hraničních prvků. Při práci se pravidelně používají jako základní funkce elektromagnetické pole. Někdy se jim říká Základní funkce Rao-Wilton-Glisson.^[1]

The prostor ${ displaystyle mathrm {RT} _ {q}}$ překlenuta základními funkcemi řádu Raviart – Thomas ${ displaystyle q}$ je nejmenší polynomiální prostor takový, že divergence mapy ${ displaystyle mathrm {RT} _ {q}}$ na ${ displaystyle mathrm {P} _ {q}}$, prostor po částech polynomů řádu ${ displaystyle q}$.^[2]

Objednejte 0 základních funkcí Raviart-Thomas ve 2D

v dvourozměrný prostor, prostor nejnižšího řádu Raviart Thomas, ${ displaystyle mathrm {RT} _ {0}}$, má stupně volnosti na okrajích prvků sítě konečných prvků. The ${ displaystyle n}$th edge má přidruženou základní funkci definovanou^[3]

${ displaystyle mathbf {f} _ {n} ( mathbf {r}) = left {{ begin {pole} {ll} { frac {l_ {n}} {2A_ {n} ^ {+ }}} ( mathbf {r} - mathbf {p} _ {+}) quad & mathrm {if mathbf {r} in T _ {+}} - { frac {l_ { n}} {2A_ {n} ^ {-}}} ( mathbf {r} - mathbf {p} _ {-}) quad & mathrm {if mathbf {r} in T _ {- }} mathbf {0} quad & mathrm {jinak} end {pole}} vpravo.}$

kde ${ displaystyle l_ {n}}$ je délka hrany, ${ displaystyle T _ {+}}$ a ${ displaystyle T _ {-}}$ jsou dva trojúhelníky sousedící s okrajem, ${ displaystyle A_ {n} ^ {+}}$ a ${ displaystyle A_ {n} ^ {-}}$ jsou oblasti trojúhelníků a ${ displaystyle mathbf {p} _ {+}}$ a ${ displaystyle mathbf {p} _ {-}}$ jsou opačné rohy trojúhelníků.

Někdy jsou základní funkce alternativně definovány jako

${ displaystyle mathbf {f} _ {n} ( mathbf {r}) = left {{ begin {pole} {ll} { frac {1} {2A_ {n} ^ {+}}} ( mathbf {r} - mathbf {p} _ {+}) quad & mathrm {if mathbf {r} in T _ {+}} - { frac {1} {2A_ { n} ^ {-}}} ( mathbf {r} - mathbf {p} _ {-}) quad & mathrm {if mathbf {r} in T _ {-}} mathbf {0} quad & mathrm {jinak} end {pole}} vpravo.}$

s faktorem délky není součástí dodávky.

Reference