Rauchova věta o srovnání - Rauch comparison theorem

v Riemannova geometrie, Rauchova věta o srovnání, pojmenoval podle Harry Rauch který to dokázal v roce 1951, je zásadním výsledkem, který se týká řezové zakřivení a Riemannovo potrubí do jaké míry geodetika roztáhnout se od sebe. Intuitivně uvádí, že u pozitivního zakřivení má geodetika tendenci konvergovat, zatímco u negativního zakřivení má geodetika tendenci se šířit. Tato věta je formulována pomocí Jacobi pole měřit odchylky v geodetice.

Prohlášení

Nechat ${displaystyle M, {widetilde {M}}}$ být Riemannian potrubí, nechť ${displaystyle gamma: [0, T] o M}$ a ${displaystyle {widetilde {gamma}}: [0, T] o {widetilde {M}}}$ být jednotkovou rychlostí geodetické segmenty takové, že ${displaystyle {widetilde {gamma}} (0)}$ nemá žádný konjugované body podél ${displaystyle {widetilde {gamma}}}$ a nechte ${displaystyle J, {widetilde {J}}}$ být normální Jacobi pole podél ${displaystyle gamma}$ a ${displaystyle {widetilde {gamma}}}$ takhle ${displaystyle J (0) = {widetilde {J}} (0) = 0}$ a ${displaystyle | D_ {t} J (0) | = | {widetilde {D}} _ {t} {widetilde {J}} (0) |}$ . Předpokládejme, že průřezová zakřivení ${displaystyle M}$ a ${displaystyle {widetilde {M}}}$ uspokojit ${displaystyle K (Pi) leq {widetilde {K}} ({widetilde {Pi}})}$ kdykoli ${displaystyle Pi podmnožina T_ {gamma (t)} M}$ je 2-rovina obsahující ${displaystyle {dot {gamma}} (t)}$ a ${displaystyle {widetilde {Pi}} podmnožina T _ {{ilde {gamma}} (t)} {widetilde {M}}}$ je 2-rovina obsahující ${displaystyle {dot {widetilde {gamma}}} (t)}$ . Pak ${displaystyle | J (t) | geq | {widetilde {J}} (t) |}$ pro všechny ${displaystyle tin [0, T]}$ .