Konjugované body - Conjugate points

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Konjugované body“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v diferenciální geometrie, konjugované body nebo ústřední body^[1] jsou zhruba body, které lze téměř spojit pomocí 1-parametrické rodiny geodetika. Například na a koule, severní pól a jižní pól jsou spojeny libovolným poledník. Dalším hlediskem je to, že konjugované body určují, kdy geodetika nedokáže minimalizovat délku. Všechna geodetika jsou lokálně minimalizace délky, ale například na kouli může být jakákoli geodetika procházející severním pólem prodloužena tak, aby dosáhla jižního pólu, a proto jakýkoli geodetický segment spojující póly není (jednoznačně) globálně minimalizace délky. To nám říká, že jakákoli dvojice antipodálních bodů na standardní 2-sféře jsou konjugované body.^[2]

Definice

Předpokládat p a q jsou body na a Riemannovo potrubí, a ${ displaystyle gamma}$ je geodetické který spojuje p a q. Pak p a q jsou sdružovat body podél ${ displaystyle gamma}$ pokud existuje nenulová Jacobi pole podél ${ displaystyle gamma}$ který zmizí v p a q.

Připomeňme, že jakékoli pole Jacobi lze zapsat jako derivaci geodetické variace (viz článek na Jacobi pole ). Proto pokud p a q jsou spolu konjugovány ${ displaystyle gamma}$, lze sestavit rodinu geodetik, které začínají na p a téměř konec v q. Zejména pokud ${ displaystyle gamma _ {s} (t)}$ je rodina geodetik, jejichž derivát v s na ${ displaystyle s = 0}$ generuje Jacobi pole J, pak konec po variaci, a to ${ displaystyle gamma _ {s} (1)}$, je bod q pouze do první objednávky v s. Pokud jsou tedy dva body konjugované, není nutné, aby existovaly dvě odlišné geodetiky, které by je spojovaly.

Příklady

• Na kouli ${ displaystyle S ^ {2}}$, antipodální body jsou konjugované.
• Na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, neexistují žádné konjugované body.
• Na Riemannovských rozdělovačích s pozitivními řezové zakřivení, neexistují žádné konjugované body.

Viz také

• Řezané místo
• Jacobi pole

Reference