Kongruence ramanujanů - Ramanujans congruences - Wikipedia

v matematika, Ramanujanovy shody jsou některé pozoruhodné shody pro funkce oddílu p(n). Matematik Srinivasa Ramanujan objevil shody

${ displaystyle { begin {aligned} p (5k + 4) & equiv 0 { pmod {5}}, p (7k + 5) & equiv 0 { pmod {7}}, p (11k + 6) & equiv 0 { pmod {11}}. End {zarovnáno}}}$

Tohle znamená tamto:

• Pokud je číslo o 4 více než násobek 5, tj. Je v pořadí

4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .

pak počet jeho oddílů je násobkem 5.

• Pokud je číslo o 5 více než násobek 7, tj. Je v pořadí

5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .

pak počet jeho oddílů je násobkem 7.

• Pokud je číslo o 6 více než násobek 11, tj. Je v pořadí

6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .

pak je počet jeho oddílů násobkem 11.

Pozadí

Ve svém příspěvku z roku 1919^[1] dokázal první dvě shody pomocí následujících identit (pomocí q-Pochhammerův symbol notace):

${ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {k = 0} ^ { infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 { frac {(q ^ {5}) _ { infty} ^ {5}} {(q) _ { infty} ^ {6}}}, [4pt] & sum _ {k = 0} ^ { infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 { frac {(q ^ {7}) _ { infty} ^ {3}} {(q) _ { infty} ^ {4}}} + 49q { frac {(q ^ {7}) _ { infty} ^ {7}} {(q) _ { infty} ^ {8}}}. End {zarovnáno}}}$

Poté uvedl, že „Zdá se, že neexistují stejně jednoduché vlastnosti pro žádné moduly zahrnující prvočísla než tato“.

Poté, co Ramanujan zemřel v roce 1920, G. H. Hardy extrahoval důkazy o všech třech shodách z nepublikovaného rukopisu Ramanujan p(n) (Ramanujan, 1921). Důkaz v tomto rukopisu využívá Eisensteinova řada.

V roce 1944 Freeman Dyson definoval hodnostní funkci a předpokládal existenci a klika funkce pro oddíly, které by poskytovaly a kombinatorický důkaz Ramanujanových kongruencí modulo 11. O čtyřicet let později, George Andrews a Frank Garvan našel takovou funkci a prokázal oslavovaný výsledek, že klika současně „vysvětluje“ tři kongruence Ramanujan modulo 5, 7 a 11.

V šedesátých letech A. O. L. Atkin z University of Illinois v Chicagu objevil další kongruence pro malé primární moduly. Například:

${ displaystyle p (11 ^ {3} cdot 13k + 237) equiv 0 { pmod {13}}.}$

Rozšíření výsledků A. Atkina, Ken Ono v roce 2000 dokázal, že existují takové ramanujanské kongruence modulo každé celočíselné coprime na 6. Například jeho výsledky dávají

${ displaystyle p (107 ^ {4} cdot 31k + 30064597) equiv 0 { pmod {31}}.}$

Později Ken Ono domníval se, že nepolapitelná klika také splňuje přesně stejné typy obecných kongruencí. To dokázal jeho Ph.D. student Karl Mahlburg ve své práci z roku 2005 Sloučení oddílů a klika Andrews – Garvan – Dyson, odkaz níže. Tento dokument vyhrál první Sborník Národní akademie věd Cena papíru roku.^[2]

Koncepční vysvětlení pro Ramanujanovo pozorování bylo konečně objeveno v lednu 2011 ^[3] zvážením Hausdorffova dimenze z následujícího ${ displaystyle P}$ funkce v l-adic topologie:

${ displaystyle P _ { ell} (b; z): = sum _ {n = 0} ^ { infty} p left ({ frac { ell ^ {b} n + 1} {24}} right) q ^ {n / 24}.}$

Je vidět, že má dimenzi 0 pouze v případech, kdy ℓ = 5, 7 nebo 11 a protože funkci oddílu lze zapsat jako lineární kombinaci těchto funkcí^[4] toto lze považovat za formalizaci a důkaz Ramanujanova pozorování.

V roce 2001 R.L. Weaver poskytl efektivní algoritmus pro nalezení shody funkce oddílu a sestavil tabulku 76 065 shod.^[5] Toto bylo v roce 2012 rozšířeno F. Johanssonem na 22 474 608 014 kongruencí,^[6] jeden velký příklad

${ displaystyle p (999959 ^ {4} cdot 29k + 28995221336976431135321047) equiv 0 { pmod {29}}.}$

Viz také

• Funkce Tau, pro které existují i ​​další tzv Ramanujan kongruence
• Pořadí oddílu
• Klika přepážky

Reference

• Ono, Kene (2000). "Distribuce funkce oddílu modulo m". Annals of Mathematics. Druhá série. 151 (1): 293–307. arXiv:matematika / 0008140. doi:10.2307/121118. JSTOR  121118. Zbl  0984.11050.
• Ono, Kene (2004). Web modularity: aritmetika koeficientů modulárních forem a q-řady. CBMS Regionální konferenční seriál z matematiky. 102. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-3368-1. Zbl  1119.11026.
• Ramanujan, S. (1919). "Některé vlastnosti p (n), počet oddílů n". Sborník Cambridge Philosophical Society. 19: 207–210. JFM  47.0885.01.

externí odkazy

• Mahlburg, K. (2005). „Rozdělovací kongruence a kliky Andrews – Garvan – Dyson“ (PDF). Sborník Národní akademie věd. 102 (43): 15373–76. Bibcode:2005PNAS..10215373M. doi:10.1073 / pnas.0506702102. PMC  1266116. PMID  16217020.
• Dysonova hodnost, klika a adjoint. Seznam odkazů.