Kvadratická množina - Quadratic set

V matematice, a kvadratická množina je sada bodů v a projektivní prostor který má stejné základní vlastnosti dopadu jako kvadrik (kuželovitý řez v projektivní rovině, koule nebo kužel nebo hyperboloid v projektivním prostoru).

Definice kvadratické množiny

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {P}} = ({ mathcal {P}}, { mathcal {G}}, in)}$ být projektivní prostor. A kvadratická množina je neprázdná podmnožina ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ pro které platí tyto dvě podmínky:

(QS1) Každý řádek ${ displaystyle g}$ z ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ protíná se ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ maximálně ve dvou bodech nebo je obsažen v ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$.

(${ displaystyle g}$ je nazýván vnější na ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ -li ${ displaystyle | g cap { mathcal {Q}} | = 0}$, tečna na ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ pokud ano ${ displaystyle | g cap { mathcal {Q}} | = 1}$ nebo ${ displaystyle g cap { mathcal {Q}} = g}$, a sekán na ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ -li ${ displaystyle | g cap { mathcal {Q}} | = 2}$.)

(QS2) Pro jakýkoli bod ${ displaystyle P in { mathcal {Q}}}$ unie ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ {P}}$ všech tečných čar ${ displaystyle P}$ je nadrovina nebo celý prostor ${ displaystyle { mathcal {P}}}$.

Kvadratická množina ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ je nazýván nedegenerovaný pokud pro každý bod ${ displaystyle P in { mathcal {Q}}}$, sada ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ {P}}$ je nadrovina.

A Pappian projektivní prostor je projektivní prostor, ve kterém Pappusova šestihranná věta drží.

Následující výsledek, kvůli Francis Buekenhout, je úžasné prohlášení pro konečné projektivní prostory.

Teorém: Nech být ${ displaystyle { mathfrak {P}} _ {n}}$ A konečný projektivní prostor dimenze ${ displaystyle n geq 3}$ a ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ nedegenerovaná kvadratická množina, která obsahuje řádky. Pak: ${ displaystyle { mathfrak {P}} _ {n}}$ je Pappian a ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ je kvadrický s indexem ${ displaystyle geq 2}$.

Definice oválu a vajec

Ovály a vajíčka jsou speciální kvadratické sady:
Nechat ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ být projektivním prostorem dimenze ${ displaystyle geq 2}$. Nedegenerovaná kvadratická množina ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ který neobsahuje řádky se nazývá vejcovitý (nebo ovál v rovině).

Následující ekvivalentní definice oválného / vejcovitého tvaru jsou běžnější:

Definice: (ovál)Sada neprázdných bodů ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ nazývá se projektivní rovina ovál pokud jsou splněny následující vlastnosti:

(o1) Jakákoli linka se setká ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ maximálně ve dvou bodech.

(o2) Pro jakýkoli bod ${ displaystyle P}$ v ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ existuje jeden a pouze jeden řádek ${ displaystyle g}$ takhle ${ displaystyle g cap { mathfrak {o}} = {P }}$.

Linka ${ displaystyle g}$ je vnější nebo tečna nebo sekán linie oválu, pokud ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 0}$ nebo ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 1}$ nebo ${ displaystyle | g cap { mathfrak {o}} | = 2}$ resp.

Pro konečný roviny následující věta poskytuje jednodušší definici.

Věta: (ovál v konečné rovině) Nech být ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ projektivní rovinu řádu ${ displaystyle n}$.Sada ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ bodů je ovál -li ${ displaystyle | { mathfrak {o}} | = n + 1}$ a pokud žádné tři body ${ displaystyle { mathfrak {o}}}$ jsou kolineární.

Podle této věty o Beniamino Segre, pro Pappian projektivní roviny zvláštní objednat ovály jsou jen kuželosečky:

Teorém:Nech být ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ A Pappian projektivní rovina zvláštní jakýkoli ovál v ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ je ovál kónický (nedegenerovaný kvadrický ).

Definice: (vejčité)Sada neprázdných bodů ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ se nazývá projektivní prostor vejcovitý pokud jsou splněny následující vlastnosti:

(O1) Jakákoli linka se setká ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ maximálně ve dvou bodech.

(${ displaystyle g}$ je nazýván vnější, tečna a sekán řádek pokud ${ displaystyle | g cap { mathcal {O}} | = 0, | g cap { mathcal {O}} | = 1}$ a ${ displaystyle | g cap { mathcal {O}} | = 2}$ resp.)

(O2) Pro jakýkoli bod ${ displaystyle P in { mathcal {O}}}$ unie ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {P}}$ všech tečných čar ${ displaystyle P}$ je nadrovina (tečná rovina v ${ displaystyle P}$).

Příklad:

a) Jakákoli koule (kvadricka indexu 1) je vejčitá.

b) V případě skutečných projektivních prostorů lze konstruovat ovoidy kombinací polovin vhodných elipsoidů tak, aby nebyly kvadriky.

Pro konečný projektivní prostory dimenze ${ displaystyle n}$ přes pole ${ displaystyle K}$ my máme:
Teorém:

a) V případě ${ displaystyle | K | < infty}$ vejčitý dovnitř ${ displaystyle { mathfrak {P}} _ {n} (K)}$ existuje pouze pokud ${ displaystyle n = 2}$ nebo ${ displaystyle n = 3}$.

b) V případě ${ displaystyle | K | < infty, operatorname {char} K neq 2}$ vejčitý dovnitř ${ displaystyle { mathfrak {P}} _ {n} (K)}$ je quadric.

Protiklady (kozy – Suzuki vejčité) ukazují, že např. tvrzení b) výše uvedené věty neplatí pro ${ displaystyle operatorname {char} K = 2}$:

Reference

• Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projektivní geometrie: od základů po aplikace, Kapitola 4: Kvadratické sady, strany 137 až 179, Cambridge University Press ISBN  978-0521482776
• F. Buekenhout (ed.) (1995) Příručka Geometrie dopadu, Elsevier ISBN  0-444-88355-X
• P. Dembowski (1968) Konečné geometrie, Springer-Verlag ISBN  3-540-61786-8, str. 48

externí odkazy

• Eric Hartmann Poznámka k přednášce Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, z Technische Universität Darmstadt