Pseudobjednávka - Pseudo-order

v konstruktivní matematika, a pseudobjednávka je konstruktivní zobecnění a lineární pořadí do souvislého případu. Obvyklý zákon o trichotomii nedrží v konstruktivním kontinuu, protože jeho nerozložitelnost, takže tento stav je oslabený.

Pseudobjednávka je a binární relace splňující následující podmínky:

1. Není možné, aby každý ze dvou prvků byl menší než ten druhý. To znamená ${displaystyle forall x, y: eg; (x$.
2. Pro všechny X, y, a z, pokud X < y pak buď X < z nebo z < y. To znamená ${displaystyle forall x, y, z: x$.
3. Každé dva prvky, u nichž ani jeden není menší než druhý, musí být stejné. To znamená ${displaystyle forall x, y: eg; (x$

Tato první podmínka je jednoduše asymetrie. Z prvních dvou podmínek vyplývá, že jde o pseudo-řád tranzitivní. Druhá podmínka se často nazývá ko-tranzitivita nebo srovnání a je konstruktivní náhražkou trichotomie. Obecně platí, že vzhledem ke dvěma prvkům pseudo uspořádané množiny nemusí vždy platit, že jeden je menší než druhý, nebo jsou stejné,^{[je zapotřebí objasnění ]} ale vzhledem k jakémukoli netriviálnímu intervalu je jakýkoli prvek buď nad dolní hranicí, nebo pod horní hranicí.

Třetí podmínka je často brána jako definice rovnosti. Přírodní vztah oddělenosti na pseudoobjednané množině je dáno

${displaystyle x # y; leftrightarrow; x$

a rovnost je definována negací oddělenosti.

Negace pseudo-řádu je a částečná objednávka což je blízko k celková objednávka: pokud X ≤ y je definována jako negace y < X, pak máme

${displaystyle eg; (eg; (xleq y); klín; eg; (yleq x)).}$

Použitím klasická logika jeden by pak dospěl k závěru, že X ≤ y nebo y ≤ X, takže by to byla úplná objednávka. Tento závěr však není platný v konstruktivním případě.

Prototypem pseudo-řádu je pořadí reálných čísel: jedno reálné číslo je menší než jiné, pokud tady existuje (lze sestrojit) racionální číslo větší než první a menší než druhé. Jinými slovy, X < y pokud existuje racionální číslo z takhle X < z < y.

Ko-tranzitivita

Druhá podmínka si zaslouží několik úvah sama o sobě ko-tranzitivita protože vztah je tranzitivní iff jeho doplněk splňuje podmínku 2. Navíc jeho následující vlastnosti lze prokázat pomocí klasické logiky.

Li R je tedy ko-tranzitivní vztah

• R je také kvazitranzitivní;
• R splňuje axiom 3 z semiordery;^{[poznámka 1]}
• neporovnatelnost w.r.t. R je tranzitivní vztah;^{[poznámka 2]} a
• R je Connex pokud ano reflexní.^{[Poznámka 3]}

Dostatečné podmínky pro ko-tranzitivní vztah R být tranzitivní také jsou:

• R je vlevo Euklidovský;
• R má pravdu euklidovský;
• R je antisymetrický.

Vztah semi-konexe R je také ko-tranzitivní, pokud je symetrický, levý nebo pravý euklidovský, přechodný nebo kvazitranzitivní. Pokud je nesrovnatelnost w.r.t. R je tedy přechodný vztah R je ko-tranzitivní, pokud je symetrický, levý nebo pravý euklidovský nebo tranzitivní.

Poznámky

Reference

• Ahoj, Arende (1966). Intuicionismus: úvod (2. vyd.). Amsterdam: Hospoda North-Holland. Co. str.106.

Tento matematická logika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.