Pseudo-determinant - Pseudo-determinant

v lineární algebra a statistika, pseudodeterminant^[1] je produktem všeho nenulového vlastní čísla a čtvercová matice. Shoduje se s pravidelným určující když je matice ne singulární.

Definice

Pseudo-determinant čtverce n-podle-n matice A lze definovat jako:

${ displaystyle | mathbf {A} | _ {+} = lim _ { alpha to 0} { frac {| mathbf {A} + alpha mathbf {I} |} { alpha ^ { n- operatorname {rank} ( mathbf {A})}}}}$

kde |A| označuje obvyklé určující, Já označuje matice identity a pořadí (A) označuje hodnost z A.^[2]

Definice pseudo-determinantu pomocí Vahlenovy matice

Vahlenova matice konformní transformace, Möbiova transformace (tj. ${ displaystyle (ax + b) (cx + d) ^ {- 1}}$ pro ${ displaystyle a, b, c, d in { mathcal {G}} (p, q)}$), je definován jako ${ displaystyle [f] = { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$. Pod pseudo-determinantem Vahlenovy matice pro konformní transformaci máme na mysli

${ displaystyle operatorname {pdet} { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = reklama ^ { dagger} -bc ^ { dagger}.}$

Li ${ displaystyle operatorname {pdet} [f]> 0}$, transformace zachovává smysl (rotace), zatímco pokud ${ displaystyle operatorname {pdet} [f] <0}$, transformace zachovává smysl (reflexe).

Výpočet pro pozitivní semi-definitivní případ

Li ${ displaystyle A}$ je pozitivní semi-definitivní, pak singulární hodnoty a vlastní čísla z ${ displaystyle A}$ shodovat se. V tomto případě, pokud rozklad singulární hodnoty (SVD) je k dispozici ${ displaystyle | mathbf {A} | _ {+}}$ lze vypočítat jako součin nenulových singulárních hodnot. Pokud jsou všechny singulární hodnoty nulové, pak je pseudodeterminant 1.

Předpokládám ${ displaystyle operatorname {hodnost} (A) = k}$, aby k je počet nenulových singulárních hodnot, můžeme psát ${ displaystyle A = PP ^ { dagger}}$ kde ${ displaystyle P}$ je nějaký n-podle-k matice a dýka je komplexní konjugace. Singulární hodnoty ${ displaystyle A}$ jsou druhé mocniny singulárních hodnot ${ displaystyle P}$ a tedy máme ${ displaystyle | A | _ {+} = doleva | P ^ { dagger} P doprava |}$, kde ${ displaystyle left | P ^ { dagger} P right |}$ je obvyklý determinant v k rozměry. Dále, pokud ${ displaystyle P}$ je zapsán jako sloupec bloku ${ displaystyle P = left ({ begin {smallmatrix} C D end {smallmatrix}} right)}$, pak platí pro všechny výšky bloků ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle C}$, že ${ displaystyle | A | _ {+} = doleva | C ^ { dagger} C + D ^ { dagger} D doprava |}$.

Aplikace ve statistice

Pokud statistický postup obvykle porovnává distribuce, pokud jde o determinanty variance-kovarianční matice, pak v případě singulárních matic lze toto srovnání provést pomocí kombinace řad matic a jejich pseudo-determinantů s maticí vyšší hodnost se počítá jako „největší“ a pseudo-determinanty se používají, pouze pokud jsou hodnosti stejné.^[3] Pseudo-determinanty jsou tedy někdy prezentovány na výstupech statistických programů v případech, kdy jsou kovarianční matice singulární.^[4]

Viz také

• Maticový determinant
• Moore – Penroseova pseudoinverze, které lze také získat z hlediska nenulových singulárních hodnot.

Reference