Pizza věta - Pizza theorem
V základní geometrie, věta o pizze uvádí rovnost dvou oblastí, které vznikají, když jeden oddíl a disk určitým způsobem.
Nechat p být vnitřním bodem disku a nechat n být násobkem 4 a větším nebo rovným 8. Form n sektory disku se stejnými úhly výběrem libovolného řádku p, otáčení řádku n/2 − 1 krát o úhel 2π/n radiány a rozřezání disku na každý z výsledných n/2 řádky. Očíslujte sektory postupně ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Věta o pizze pak uvádí, že:
- Součet oblastí lichých sektorů se rovná součtu oblastí sudých sektorů (Upton 1968 ).
Věta o pizze se nazývá tak, protože napodobuje tradiční pizza technika krájení. Ukazuje, že pokud dva lidé sdílejí pizzu nakrájenou tímto způsobem tím, že berou střídavé plátky, pak každý dostane stejné množství pizzy.
Dějiny
Věta o pizze byla původně navržena jako problém s výzvou Upton (1967). Publikované řešení tohoto problému od Michaela Goldberga zahrnovalo přímou manipulaci s algebraickými výrazy pro oblasti sektorů.Carter & Wagon (1994a) poskytnout alternativní důkaz do pitva. Ukazují, jak rozdělit sektory na menší kousky tak, aby každý kousek v lichém sektoru měl a shodný kus v sudém sektoru a naopak. Frederickson (2012) dal rodinu disekčních důkazů pro všechny případy (ve kterých počet sektorů je 8, 12, 16, ...).
Zobecnění
Je nezbytný požadavek, aby počet sektorů byl násobkem čtyř: as Don Coppersmith Ukázalo se, že rozdělení disku na čtyři sektory nebo počet sektorů, které nejsou dělitelné čtyřmi, obecně nevytváří stejné oblasti. Mabry & Deiermann (2009) odpověděl na problém Carter & Wagon (1994b) poskytnutím přesnější verze věty, která určuje, která ze dvou sad sektorů má větší plochu v případech, že jsou oblasti nerovné. Konkrétně, pokud je počet sektorů 2 (mod 8) a středem disku neprochází žádný řez, pak má podmnožina řezů obsahujících střed menší plochu než druhá podmnožina, zatímco pokud je počet sektorů 6 (mod 8) a středem neprochází žádný řez, pak má podmnožina řezů obsahujících střed větší plochu. Lichý počet sektorů není u přímých řezů možný a řez středem způsobí, že dvě podmnožiny budou stejné bez ohledu na počet sektorů.
Mabry & Deiermann (2009) také si všimněte, že když je pizza rovnoměrně rozdělena, pak také její kůra (kůru lze interpretovat buď jako obvod disku, nebo jako oblast mezi hranicí disku a menším kruhem se stejným středem, s řezem - bod ležící v jeho vnitřku), a protože disky ohraničené oběma kruhy jsou rozděleny rovnoměrně, je jejich rozdíl také. Když je však pizza rozdělena nerovnoměrně, večeře, která dostane nejvíce oblasti pizzy, ve skutečnosti dostane nejméně kůry.
Tak jako Hirschhorn a kol. (1999) všimněte si, že stejné rozdělení pizzy také vede ke stejnému rozdělení jejích zálivků, pokud je každá zálivka distribuována na disku (ne nutně soustředném s celou pizzou), který obsahuje středový bod p rozdělení na sektory.
Související výsledky
Hirschhorn a kol. (1999) ukázat, že pizza nakrájená stejným způsobem jako věta o pizze na číslo n sektorů se stejnými úhly, kde n je dělitelné čtyřmi, lze je také rovnoměrně rozdělit mezi n/ 4 osoby. Například pizzu rozdělenou do 12 sektorů mohou sdílet rovnoměrně tři lidé i dva; k ubytování všech pěti Hirschhornů by však bylo nutné rozdělit pizzu na 20 sektorů.
Cibulka a kol. (2010) a Knauer, Micek & Ueckerdt (2011) prostudujte si herní teorie výběru plátků pizzy zdarma, aby byl zaručen velký podíl, problém, který představují Dan Brown a Peter Winkler. Ve verzi problému, který studují, je pizza nakrájena radiálně (bez záruky sektorů se stejným úhlem) a dva hosté si střídavě vybírají kousky pizzy, které sousedí s již snědeným sektorem. Pokud se oba hosté pokusí maximalizovat množství pizzy, které jedí, může si host, který si vezme první plátek, zaručit podíl 4/9 na celkové pizze a existuje také krájení pizzy, takže si nemůže vzít víc. The spravedlivé rozdělení nebo problém s krájením dortu bere v úvahu podobné hry, ve kterých mají různí hráči různá kritéria pro měření velikosti svého podílu; například jeden host může dát přednost tomu, aby dostal nejvíce feferonek, zatímco jiný host může dát přednost tomu, aby si dal nejvíce sýra.
Viz také
Další matematické výsledky týkající se krájení pizzy zahrnují sekvence líného kuchaře posloupnost celých čísel, která počítá maximální počet kusů pizzy, které lze získat daným počtem rovných řezů, a věta o šunkové sendviči, výsledek o krájení trojrozměrných předmětů, jejichž dvourozměrná verze znamená, že každá pizza, bez ohledu na to, jak znetvořená, může mít svou plochu a délku krusty současně rozříznutou jedním pečlivě vybraným přímým řezem, a jejíž trojrozměrná verze znamená, že existuje rovný řez, který rovnoměrně sdílí základnu, rajče a sýr.
Reference
- Carter, Larry; Wagon, Stan (1994a), „Důkaz beze slov: spravedlivé přidělení pizzy“, Matematický časopis, 67 (4): 267, doi:10.1080 / 0025570X.1994.11996228, JSTOR 2690845.
- Carter, Larry; Wagon, Stan (1994b), „Problém 1457“, Matematický časopis, 67 (4): 303–310, JSTOR 2690855.
- Cibulka, Josef; Kynčl, Jan; Mészáros, Viola; Stolař, Rudolf; Valtr, Pavel (2010), „Řešení problému s pizzou od Petera Winklera“, Slavnost kombinatoriky a informatikyMatematické studie společnosti Bolyai Society, 20, János Bolyai Mathematical Society and Springer-Verlag, str. 63–93, arXiv:0812.4322, doi:10.1007/978-3-642-13580-4_4, ISBN 978-3-642-13579-8.
- Hirschhorn, J .; Hirschhorn, M. D .; Hirschhorn, J. K .; Hirschhorn, A. D .; Hirschhorn, P. M. Hirschhorn (1999), „Věta o pizze“ (PDF), Jižní. Matematika. Soc. Gaz., 26: 120–121.
- Frederickson, Greg (2012), „Důkaz je v pizze“, Matematický časopis, 85 (1): 26–33, doi:10,4169 / math.mag.85.1.26, JSTOR 10,4169 / math.mag.85.1.26.
- Knauer, Kolja; Micek, Piotr; Ueckerdt, Torsten (2011), „Jak jíst 4/9 pizzy“, Diskrétní matematika, 311 (16): 1635–1645, arXiv:0812.2870, doi:10.1016 / j.disc.2011.03.015.
- Mabry, Rick; Deiermann, Paul (2009), „Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Chutné Results“, Americký matematický měsíčník, 116 (5): 423–438, doi:10,4169 / 193009709x470317, JSTOR 40391118.
- Ornes, Stephen (11. prosince 2009), „Ideální způsob, jak rozkrojit pizzu“, Nový vědec.
- Upton, L. J. (1967), „Problém 660“, Matematický časopis, 40 (3): 163, JSTOR 2688484. Problémové prohlášení.
- Upton, L. J. (1968), „Problém 660“, Matematický časopis, 41 (1): 42, JSTOR 2687962. Řešení od Michaela Goldberga.
- Berzsenyi, George (1994), „The Pizza Theorem - Part I“ (PDF), Quantum Magazine: 29
- Berzsenyi, George (1994), „The Pizza Theorem - Part II“ (PDF), Quantum Magazine: 29
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Věta o pizze". MathWorld.
- Sillke, Torsten, Pizza věta, vyvoláno 2009-11-24