Předepsaný problém skalárního zakřivení - Prescribed scalar curvature problem

v Riemannova geometrie, pobočka matematika, předepsaný problém skalárního zakřivení je následující: vzhledem k tomu, a Zavřeno, hladké potrubí M a plynulá funkce se skutečnou hodnotou ƒ na M, postavte a Riemannova metrika na M jehož skalární zakřivení rovná se ƒ. Především kvůli práci J. Kazdan a F. Warnera v 70. letech je tento problém dobře znám.

Řešení ve vyšších dimenzích

Pokud je rozměr M je tři nebo větší, pak jakákoli plynulá funkce ƒ která někde nabývá záporné hodnoty, je skalární zakřivení nějaké Riemannovy metriky. Předpoklad, že ƒ být někde negativní je obecně potřeba, protože ne všechna potrubí připouštějí metriky, které mají striktně pozitivní skalární zakřivení. (Například trojrozměrný torus je takové rozmanité.) Kazdan a Warner však dokázali, že pokud M připouští nějakou metriku s přísně pozitivním skalárním zakřivením, pak jakoukoli hladkou funkci ƒ je skalární zakřivení nějaké Riemannovy metriky.

Viz také

Reference

  • Aubin, Thierry. Některé nelineární problémy v Riemannově geometrii. Springer Monografie z matematiky, 1998.
  • Kazdan, J. a Warner F. Skalární zakřivení a konformní deformace Riemannovy struktury. Journal of Differential Geometry. 10 (1975). 113–134.