Předběžné opatření - Pre-measure - Wikipedia

v matematika, a předběžné opatření je funkce to je v jistém smyslu předchůdce a v dobré víře opatření v daném prostoru. Jedna ze základních teorém v teorii míry skutečně uvádí, že předběžné opatření lze rozšířit na opatření.

Definice

Nechat R být kruh podmnožin (uzavřeno pod svaz a relativní doplněk ) pevné sady X a nechte μ₀: R → [0, + ∞] je nastavená funkce. μ₀ se nazývá a předběžné opatření -li

${ displaystyle mu _ {0} ( emptyset) = 0}$

a pro každého spočetná (nebo konečná) posloupnost {A_n}_n∈N ⊆ R z párově disjunktní množiny, jejichž unie spočívá v R,

${ displaystyle mu _ {0} left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu _ { 0} (A_ {n})}$.

Druhá vlastnost se nazývá σ- aditivita.

Chybí tedy, aby předběžné opatření bylo opatřením, je, že není nutně definováno na a sigma-algebra (nebo sigma-prsten).

Carathéodoryova věta o rozšíření

Ukazuje se, že předběžná opatření vznikají zcela přirozeně vnější opatření, které jsou definovány pro všechny podmnožiny prostoru X. Přesněji řečeno, pokud μ₀ je předběžné opatření definované v kruhu podmnožin R prostoru X, pak nastavená funkce μ^∗ definován

${ displaystyle mu ^ {*} (S) = inf left { left. sum _ {i = 1} ^ { infty} mu _ {0} (A_ {i}) right | A_ {i} v R, S subseteq bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i} right }}$

je vnější míra na X a opatření μ vyvolané μ^∗ na σ-algebře Σ Carathéodory-měřitelných množin vyhovuje ${ displaystyle mu (A) = mu _ {0} (A)}$ pro ${ displaystyle A v R}$ (zejména Σ zahrnuje R). Infimum prázdné sady se považuje za ${ displaystyle + infty}$.

(Všimněte si, že v terminologii používané v literatuře existují určité rozdíly. Například Rogers (1998) používá „míra“, kde tento článek používá termín „vnější míra“. Vnější opatření nejsou obecně opatřeními, protože mohou být σ-přísada.)

Viz také

• Hahn-Kolmogorovova věta

Reference

• Munroe, M. E. (1953). Úvod do měření a integrace. Cambridge, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company Inc. str. 310. PAN0053186
• Rogers, C. A. (1998). Hausdorffova opatření. Cambridge Mathematical Library (třetí vydání). Cambridge: Cambridge University Press. str. 195. ISBN  0-521-62491-6. PAN1692618 (Viz část 1.2.)
• Folland, G. B. (1999). Skutečná analýza. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). New York: John Wiley & Sons, Inc. str.30 –31. ISBN  0-471-31716-0.