Předběžné opatření - Pre-measure - Wikipedia
v matematika, a předběžné opatření je funkce to je v jistém smyslu předchůdce a v dobré víře opatření v daném prostoru. Jedna ze základních teorém v teorii míry skutečně uvádí, že předběžné opatření lze rozšířit na opatření.
Definice
Nechat R být kruh podmnožin (uzavřeno pod svaz a relativní doplněk ) pevné sady X a nechte μ0: R → [0, + ∞] je nastavená funkce. μ0 se nazývá a předběžné opatření -li
a pro každého spočetná (nebo konečná) posloupnost {An}n∈N ⊆ R z párově disjunktní množiny, jejichž unie spočívá v R,
- .
Druhá vlastnost se nazývá σ- aditivita.
Chybí tedy, aby předběžné opatření bylo opatřením, je, že není nutně definováno na a sigma-algebra (nebo sigma-prsten).
Carathéodoryova věta o rozšíření
Ukazuje se, že předběžná opatření vznikají zcela přirozeně vnější opatření, které jsou definovány pro všechny podmnožiny prostoru X. Přesněji řečeno, pokud μ0 je předběžné opatření definované v kruhu podmnožin R prostoru X, pak nastavená funkce μ∗ definován
je vnější míra na X a opatření μ vyvolané μ∗ na σ-algebře Σ Carathéodory-měřitelných množin vyhovuje pro (zejména Σ zahrnuje R). Infimum prázdné sady se považuje za .
(Všimněte si, že v terminologii používané v literatuře existují určité rozdíly. Například Rogers (1998) používá „míra“, kde tento článek používá termín „vnější míra“. Vnější opatření nejsou obecně opatřeními, protože mohou být σ-přísada.)
Viz také
Reference
- Munroe, M. E. (1953). Úvod do měření a integrace. Cambridge, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company Inc. str. 310. PAN0053186
- Rogers, C. A. (1998). Hausdorffova opatření. Cambridge Mathematical Library (třetí vydání). Cambridge: Cambridge University Press. str. 195. ISBN 0-521-62491-6. PAN1692618 (Viz část 1.2.)
- Folland, G. B. (1999). Skutečná analýza. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). New York: John Wiley & Sons, Inc. str.30 –31. ISBN 0-471-31716-0.