Pozitivní forma - Positive form

v složitá geometrie, termín pozitivní forma odkazuje na několik tříd reálného diferenciální formy z Typ Hodge (p, p).

(1,1) -formy

Skutečný (p,p) -formy na složitém potrubí M jsou formuláře, které jsou typu (p,p) a skutečné, tj. leží v průsečíku:${displaystyle Lambda ^ {p, p} (M) čepice Lambda ^ {2p} (M, {mathbb {R}}).}$ Skutečná (1,1) forma ${displaystyle omega}$ je nazýván pozitivní pokud platí některá z následujících ekvivalentních podmínek

1. ${displaystyle -omega}$ je imaginární součástí pozitivního (ne nutně pozitivního konečného) Poustevnická forma.
2. Z nějakého důvodu ${displaystyle dz_ {1}, ... dz_ {n}}$ v prostoru ${displaystyle Lambda ^ {1,0} M}$ z (1,0) -form, ${displaystyle {sqrt {-1}} omega}$ lze psát úhlopříčně, jako ${displaystyle {sqrt {-1}} omega = součet _ {i} alfa _ {i} dz_ {i} klín d {ar {z}} _ {i},}$ s ${displaystyle alpha _ {i}}$ skutečné a nezáporné.
3. Pro jakýkoli (1,0)-tangens vektor ${displaystyle vin T ^ {1,0} M}$, ${displaystyle - {sqrt {-1}} omega (v, {ar {v}}) geq 0}$
4. Pro jakýkoli skutečný tangensový vektor ${displaystyle vin TM}$, ${displaystyle omega (v, I (v)) geq 0}$, kde ${displaystyle I:; TMmapsto TM}$ je složitá struktura operátor.

Pozitivní svazky řádků

V algebraické geometrii vznikají kladné (1,1) -formy jako tvary zakřivení dostatek svazků řádků (také známý jako svazky kladných čar). Nechat L být holomorfní hermitovskou linií na složitém potrubí,

${displaystyle {ar {částečné}} :; Lmapsto Lotimes Lambda ^ {0,1} (M)}$

jeho operátor komplexní struktury. Pak L je vybaven jedinečným spojením zachovávajícím hermitovskou strukturu a uspokojujícím

${displaystyle abla ^ {0,1} = {ar {částečný}}}$.

Toto připojení se nazývá the Chern spojení.

Zakřivení ${displaystyle Theta}$ Chernova spojení je vždy dobře imaginární (1,1) -forma. Balíček řádků L je nazýván pozitivní -li

${displaystyle {sqrt {-1}} Theta}$

je pozitivní určitý (1,1) -form. The Veta o Kodaiře tvrdí, že svazek kladných řádků je dostatečný a naopak jakýkoli dostatek svazku řádků připouští hermitovskou metriku s ${displaystyle {sqrt {-1}} Theta}$ pozitivní.

Pozitivita pro (p, p)-formuláře

Kladné (1,1) formy se zapnou M formulář a konvexní kužel. Když M je kompaktní složitý povrch, ${displaystyle dim_ {mathbb {C}} M = 2}$, tento kužel je self-dual, s ohledem na párování Poincaré:${displaystyle eta, zeta mapsto int _ {M} eta klín zeta}$

Pro (p, p)-formy, kde ${displaystyle 2leq pleq dim_ {mathbb {C}} M-2}$existují dva různé pojmy pozitivity. Formulář se nazývásilně pozitivní pokud se jedná o lineární kombinaci produktů pozitivních forem s kladnými reálnými koeficienty. Skutečný (p, p)-formulář ${displaystyle eta}$ na n-dimenzionální komplexní potrubí M je nazýván slabě pozitivní pokud pro všechny silně pozitivní (n-p, n-p)-formy ζ s kompaktní podporou, máme ${displaystyle int _ {M} eta klín zeta geq 0}$.

Slabě pozitivní a silně pozitivní formy tvoří konvexní kužele. Na kompaktních rozdělovačích jsou tyto kužele dvojí s ohledem na párování Poincaré.

Reference

• P. Griffiths a J. Harris (1978), Principy algebraické geometrieWiley. ISBN  0-471-32792-1
• J.-P. Pochmurně, L² mizející věty o svazcích kladných linií a teorii adjunkcí, Poznámky k přednášce kurzu CIME „Transcendentální metody algebraické geometrie“ (Cetraro, Itálie, červenec 1994).