Pozitivní a negativní části - Positive and negative parts
v matematika, pozitivní část a nemovitý nebo rozšířené skutečné -hodnota funkce je definován vzorcem
Intuitivně graf z se získá z grafu , odříznutí části pod X- osa, a nechat vezměte tam hodnotu nula.
Podobně negativní část z F je definován jako
Všimněte si, že obojí F+ a F− jsou nezáporné funkce. Zvláštností terminologie je, že „negativní část“ není ani negativní, ani část (jako imaginární část komplexní číslo není ani imaginární, ani součástí).
Pokud se spojíme, můžeme to udělat
Funkce F lze vyjádřit pomocí F+ a F− tak jako
Všimněte si také, že
- .
Pomocí těchto dvou rovnic lze vyjádřit kladnou a zápornou část jako
Další reprezentace pomocí Iverson držák je
Lze definovat kladnou a zápornou část libovolné funkce s hodnotami v a lineárně uspořádaná skupina.
Míra-teoretické vlastnosti
Vzhledem k tomu, měřitelný prostor (X, Σ), rozšířená funkce se skutečnou hodnotou F je měřitelný kdyby a jen kdyby jeho kladné a záporné části jsou. Proto, pokud taková funkce F je měřitelný, stejně tak jeho absolutní hodnota |F|, což je součet dvou měřitelných funkcí. Konverzace však nemusí nutně platit: například brát F tak jako
kde PROTI je Sada Vitali, je jasné že F není měřitelný, ale jeho absolutní hodnota je, je konstantní funkcí.
K definování funkce se používá kladná část a záporná část funkce Lebesgueův integrál pro funkci se skutečnou hodnotou. Analogicky k tomuto rozkladu funkce lze rozložit a podepsané opatření do kladných a záporných částí - viz Hahnova věta o rozkladu.
Viz také
Reference
- Jones, Frank (2001). Lebesgueova integrace v euklidovském prostoru, rev. Ed. Sudbury, Massachusetts: Jones a Bartlett. ISBN 0-7637-1708-8.
- Hunter, John K; Nachtergaele, Bruno (2001). Aplikovaná analýza. Singapur; River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
- Rana, Inder K (2002). Úvod do měření a integrace, 2. vyd. Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2974-2.