Pomerančukova nestabilita - Pomeranchuk instability - Wikipedia

The Pomerančukova nestabilita je nestabilita ve tvaru Fermiho povrch materiálu s interakcí fermiony způsobující Landau Je Teorie tekutin Fermi rozbít se. Dochází k němu, když má Landauův parametr v Fermiho tekuté teorii dostatečně zápornou hodnotu, což způsobí, že deformace Fermiho povrchu budou energeticky příznivé. Je pojmenován po sovětský fyzik Isaak Pomeranchuk.

Fermiho kapaliny a Landauovy parametry

V Fermiho kapalina, renormalizováno singl elektron propagátoři (ignorování roztočit ) jsou

${ displaystyle { frac {Z} {k_ {0} - epsilon _ { vec {k}} + i eta operatorname {sgn} (k_ {0})}} = G _ {} (K)}$,

kde písmena hybnosti označují čtyři vektory ${ displaystyle K = (k_ {0}, { vec {k}})}$ a Fermiho povrch má nulovou energii.^[1] Póly ${ displaystyle G (K)}$ určit kvazičástice hybnost energie disperzní vztah. Lze definovat funkci čtyřbodového vrcholu ${ displaystyle Gamma _ {(K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}}$ jako diagram se dvěma přicházejícími elektrony hybnosti ${ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ a dva odchozí elektrony hybnosti ${ displaystyle K_ {3}, K_ {4}}$ a amputované externí linky:

${ displaystyle int prod _ {i = 1} ^ {2} dX_ {i} e ^ {iK_ {i} X_ {i}} prod _ {i = 3} ^ {4} dX_ {i} e ^ {- iK_ {i} X_ {i}} langle T psi _ {} ^ { dagger} (X_ {3}) psi _ {} ^ { dagger} (X_ {4}) psi _ {} (X_ {1}) psi _ {} (X_ {2}) rangle =}$

${ displaystyle = (2 pi) ^ {8} delta (K_ {1} -K_ {3}) delta (K_ {2} -K_ {4}) G (K_ {1}) G (K_ { 2}) - (2 pi) ^ {8} delta (K_ {1} -K_ {4}) delta (K_ {2} -K_ {3}) G (K_ {1}) G (K_ { 2}) +}$

${ displaystyle + (2 pi) ^ {4} delta ({K_ {1} + K_ {2} -K_ {3} -K_ {4}}) G (K_ {1}) G (K_ {2 }) G (K_ {3}) G (K_ {4}) i Gamma _ {(K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}}$.

2-částice neredukovatelné ${ displaystyle { tilde { Gamma}}}$ je součet diagramů přispívajících k ${ displaystyle Gamma}$ které nelze odpojit po rozřezání dvou elektronových propagátorů. Když ${ displaystyle K ': = K_ {1} -K_ {3}: = (k' _ {0}, { vec {k '}})}$ je velmi malý (režim zájmu zde), T- kanál se stává dominantním nad S a U kanály, takže Dysonova rovnice dává

${ displaystyle Gamma _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2}} = { tilde { Gamma}} _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ { 1}, K_ {2}} - i sum _ {Q} { tilde { Gamma}} _ {K_ {3}, Q + K '; K_ {1}, Q} G (Q) G (Q + K ') Gamma _ {Q, K_ {4}; Q + K', K_ {2}}}$

Poté manipulace s maticemi (zacházení s těmito veličinami jako s nekonečnými maticemi s indexy označenými dvojicemi ${ displaystyle (K_ {1}, K_ {3})}$ a ${ displaystyle (K_ {2}, K_ {4})}$) Ukaž to

${ displaystyle Gamma _ {K_ {1}, K_ {2}} ^ { omega}: = lim _ {k ' to 0} lim _ {k' / omega ' to 0} Gamma _ {K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2}}}$

není singulární a splňuje maticovou rovnici ${ displaystyle Gamma = (( Gamma ^ { omega}) ^ {- 1} -L) ^ {- 1}}$, kde

${ displaystyle L_ {Q '' + K '', Q'-K '; Q' ', Q'}: = - i delta _ {Q '', Q '} delta _ {K' ', K '} G (Q') G (K '+ Q')}$.^[2]

Normalizovaný parametr Landau je definován jako ${ displaystyle f_ {kk '} = Z ^ {2} N Gamma ^ { omega} (( epsilon _ { rm {F}}, { vec {k}}), ( epsilon _ { rm {F}}, { vec {k '}}))}$, kde ${ displaystyle N = { frac {p _ { rm {F}} m _ { rm {F}} ^ {*}} { pi ^ {2}}}}$ je Fermiho povrchová hustota stavů. Energie je aproximována funkční

${ displaystyle E = sum _ { vec {k}} epsilon _ { vec {k}} delta n _ { vec {k}} + sum _ {{ vec {k}}, { vec {k '}}} {{ frac {1} {2NV}} f _ {{ vec {k}} { vec {k'}}} delta n _ { vec {k}} delta n_ { vec {k '}}}}$

kde ${ displaystyle epsilon _ { vec {k}} = v _ { rm {F}} (| { vec {k}} | -p _ { rm {F}})}$ na okamžik ${ displaystyle { vec {k}}}$ blízko Fermiho hybnost ${ displaystyle p _ { rm {F}}}$.

Kritérium stability Pomeranchuk

U 3D izotropní kapaliny Fermi zvažte malé fluktuace hustoty ${ displaystyle delta n_ {k} = Theta (| k | -p _ { rm {F}}) - Theta (| k | -p _ { rm {F}} '({ hat {k} }))}$ kde ${ displaystyle p _ { rm {F}} '({ hat {k}}) = sum _ {l = 0} ^ { infty} Y_ {l, m} ({ hat {k}}) delta phi _ {lm} ({ hat {k}})}$ a nekonečně malá funkce ${ displaystyle delta phi _ {lm} ({ hat {k}})}$ parametrizuje fluktuaci (${ displaystyle Y_ {l, m}}$ označit sférické harmonické ). Zapojením do energetické funkce a za předpokladu ${ displaystyle delta phi _ {lm}}$ je mnohem menší než ${ displaystyle p _ { rm {F}}}$,

${ displaystyle sum _ {k} epsilon _ {k} delta n_ {k} = { frac {2} {(2 pi) ^ {3}}} int d ^ {2} { hat {k}} int _ {p _ { rm {F}}} ^ {p _ { rm {F}} '({ hat {k}})} v _ { rm {F}} (p'- p _ { rm {F}}) p '^ {2} dp' = { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} v _ { rm {F}}} {(2 pi) ^ {3}}} sum _ {lm} ( delta phi _ {lm}) ^ {2} { frac {4 pi} {2l + 1}} { frac {(l + m)!} {(lm)!}}}$<

${ displaystyle sum _ {k, k '} f_ {kk'} delta n_ {k} delta n_ {k '} = { frac {2p _ { rm {F}} ^ {4}} {( 2 pi) ^ {6}}} int d ^ {2} { hat {k}} d ^ {2} { hat {k '}} (p _ { rm {F}}' ({ klobouk {k}}) - p _ { rm {F}}) (p _ { rm {F}} '({ hat {k'}}) _ { rm {F}}) f_ {p _ { rm {F}} { hat {k}}, p _ { rm {F}} { hat {k '}}}}$

dává

${ displaystyle E = { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} v _ { rm {F}}} {2 ( pi) ^ {2}}} součet _ {lm} ( delta phi _ {lm}) ^ {2} { frac {(l + m)!} {(2l + 1) (lm)!}} left (1 + { frac {f_ {l}} { 2 l + 1}} vpravo)}$,

kde ${ displaystyle f_ {p _ { rm {F}} { hat {k}}, p _ { rm {F}} { hat {k '}}} = součet _ {l = 0} ^ { infty} P_ {l} ({ hat {k}} cdot { hat {k '}}) f_ {l}}$ a ${ displaystyle P_ {l}}$ je ${ displaystyle l}$-th Legendární polynom.^[3] Mít pozitivní určitou energetickou funkčnost vyžaduje kritérium stability Pomerančuka, ${ displaystyle f_ {l}> - (2l + 1)}$; jinak Fermiho povrchové zkreslení ${ displaystyle delta phi _ {lm}}$ poroste neomezeně, dokud se model nerozbije v tzv. Pomerančukově nestabilitě.

Ve 2D podobná analýza s kolísáním kruhových vln ${ displaystyle propto e ^ {il theta}}$ místo sférických harmonických a Čebyševovy polynomy místo Legendrových polynomů ukazuje omezení Pomeranchuk ${ displaystyle f_ {l}> - 1}$.^[4] U neizotropních materiálů platí stejný kvalitativní výsledek - u dostatečně negativních Landauových parametrů je povrch Fermi spontánně zničen s nestabilními výkyvy.

Bod, ve kterém ${ displaystyle F_ {l} = - (2l + 1)}$ je velmi teoreticky zajímavý, protože naznačuje a kvantový fázový přechod z Fermiho kapaliny do jiného stavu hmoty a nad nulovou teplotou existuje kvantově kritický stav.^[5]

Fyzikální veličiny se zjevným Pomerančukovým kritériem

Mnoho fyzikálních veličin ve Fermiho tekuté teorii je jednoduchým vyjádřením složek Landauových parametrů. Zde je uvedeno několik standardních; rozcházejí se nebo se stávají nefyzickými za kvantovým kritickým bodem.^[6]

Izotermický stlačitelnost: ${ displaystyle kappa = - { frac {1} {V}} { frac { částečné V} { částečné P}} = { frac {N / n ^ {2}} {1 + f_ {0 }}}}$

Efektivní hmotnost: ${ displaystyle m ^ {*} = { frac {p _ { rm {F}}} {v _ { rm {F}}}} = m (1 + f_ {1} / 3)}$

Rychlost prvního zvuku: ${ displaystyle C = { sqrt { frac {p _ { rm {F}} ^ {2} (1 + f_ {0})} {m ^ {2} (3 + f_ {1})}}} }$

Nestabilní nulové zvukové režimy

Nulový zvuk popisuje, jak jsou lokalizované fluktuace funkce hustoty hybnosti ${ displaystyle delta n_ {k}}$ šíří se prostorem a časem.^[1] Stejně jako je disperze kvazičástic dána pólem propagátoru jedné částice, vztah nulové disperze zvuku je dán pólem T-kanálu vertexové funkce ${ displaystyle Gamma (K_ {3}, K_ {4}; K_ {1}, K_ {2})}$ téměř malý ${ displaystyle K_ {1} -K_ {3}}$. Fyzicky to popisuje šíření páru elektronových děr, který je zodpovědný za kolísání ${ displaystyle delta n_ {k}}$. Ze vztahu ${ displaystyle Gamma = (( Gamma ^ { omega}) ^ {- 1} -L) ^ {- 1}}$ a ignorování příspěvků uživatele ${ displaystyle f _ { ell}}$ pro ${ displaystyle ell> 0}$, nulové zvukové spektrum je dáno čtyřmi vektory ${ displaystyle K '= ( omega ({ vec {k'}}), { vec {k '}})}$ uspokojující ${ displaystyle { frac {Z ^ {2} N} {f_ {0}}} = - i součet _ {Q} G (Q + K ') G (Q + K)}$nebo

${ displaystyle { frac {-1} {f_ {0}}} = Phi (s, x): = { frac {(sx / 2) ^ {2} -1} {4x}} ln { frac {(sx / 2) +1} {(sx / 2) -1}} - { frac {(s + x / 2) ^ {2} -1} {4x}} ln { frac { (s + x / 2) +1} {(s + x / 2) -1}} + { frac {1} {2}}}$

kde ${ displaystyle s = { frac { omega ({ vec {k}})} {| { vec {k}} | p _ { rm {F}}}}}$, ${ displaystyle x = { frac {| k |} {p _ { rm {F}}}}}$.

Když ${ displaystyle f_ {0}> 0}$, pro každý skutečný ${ displaystyle x}$ existuje skutečné řešení pro ${ displaystyle s (x)}$, což odpovídá relaci rozptylu oscilačních vln se skutečným nulovým zvukem. Když ${ displaystyle f_ {0} <0}$, pro každý skutečný ${ displaystyle x}$ existuje čisté imaginární řešení pro ${ displaystyle s (x)}$, což odpovídá exponenciální změně nulové zvukové amplitudy v čase. Pro ${ displaystyle -1$, ${ displaystyle Im (s (x)) <0}$ vůbec skutečné ${ displaystyle x}$, takže je amplituda tlumena. Ale pro ${ displaystyle -1> f_ {0}}$, ${ displaystyle Im (s (x))> 0}$ pro dostatečně malé ${ displaystyle x}$, což znamená exponenciální explozi jakékoli fluktuace nulového zvuku s nízkou hybností. Toto je projev Pomerančukovy nestability.^[2]

Nematický fázový přechod

Pomeranchuk nestability na ${ displaystyle l = 1}$ se ukázalo, že neexistuje v nerelativistických systémech ^[7]. Nestability však na ${ displaystyle l = 2}$ mít zajímavé aplikace v pevné fázi. Z formy sférických harmonických ${ displaystyle Y_ {2, m} ( theta, phi)}$ (nebo ${ displaystyle e ^ {2i theta}}$ ve 2d) je Fermiho povrch zkreslený na elipsoid (nebo elipsu). Konkrétně ve 2d je parametr kvadrupólového momentového pořadí

${ displaystyle { tilde {Q}} (q) = součet _ {k} e ^ {2i theta _ {q}} psi _ {k + q} ^ { dagger} psi _ {k} }$

má nenulovou hodnotu hodnota očekávaného vakua v ${ displaystyle l = 2}$ Pomerančukova nestabilita. Povrch Fermi má excentricitu ${ displaystyle | langle { tilde {Q}} (0) rangle |}$ a spontánní orientace hlavní osy ${ displaystyle theta = arg ( langle { tilde {Q}} (0) rangle)}$. Postupná prostorová variace v ${ displaystyle theta ({ vec {r}})}$ tvoří bez mezer Režimy Goldstone, tvořící nematickou kapalinu statisticky analogickou k tekutému krystalu. Analýza Oganesyana et al ^[8] modelové interakce mezi kvadrupólovými momenty předpovídá tlumené nulové zvukové fluktuace kondenzátu kvadrupólového momentu pro vlny šikmé k elipsovým osám.

Halboth a Metzner našli 2D čtvercový pevně vázaný Hubbard Hamiltonian s interakcí nejbližšího souseda^[9] zobrazit nestabilitu v citlivosti d- kolísání vln pod renormalizační skupina tok. Proto je podezření, že Pomerančukova nestabilita vysvětluje experimentálně měřenou anizotropii cuprate supravodiče jako LSCO a YBCO.^[10]

Viz také

• Kohnova anomálie
• Pomerančukova věta
• Lindhardova teorie

Reference