Lindhardova teorie - Lindhard theory

Lindhardova teorie,^[1][2] pojmenoval podle dánského profesora Jense Lindharda,^[3][4] je metoda výpočtu účinků stínění elektrického pole elektrony v pevné látce. Je založen na kvantové mechanice (teorie poruch prvního řádu) a na náhodná fázová aproximace.

Screening Thomase – Fermiho lze odvodit jako speciální případ obecnějšího Lindhardova vzorce. Zejména je Thomas-Fermiho screening limitem Lindhardova vzorce, když je vlnový vektor (převrácená hodnota délky stupnice zájmu) mnohem menší než Fermiho vlnový vektor, tj. Limit na dlouhé vzdálenosti.^[2]

Tento článek používá cgs-Gaussovy jednotky.

Vzorec

Lindhardův vzorec pro podélný tvar dielektrická funkce darováno

${ displaystyle epsilon (q, omega) = 1-V_ {q} součet _ {k} { frac {f_ {kq} -f_ {k}} { hbar ( omega + i delta) + E_ {kq} -E_ {k}}}.}$

Tady, ${ displaystyle delta}$ je kladná nekonečně malá konstanta, ${ displaystyle V_ {q}}$ je ${ displaystyle V _ { text {eff}} (q) -V _ { text {ind}} (q)}$ a ${ displaystyle f_ {k}}$ je funkce distribuce nosiče, kterou je Distribuční funkce Fermi – Dirac pro elektrony v termodynamické rovnováze. Tento Lindhardův vzorec však platí i pro nerovnovážné distribuční funkce.

Analýza Lindhardova vzorce

Abyste pochopili Lindhardův vzorec, zvažte některé omezující případy ve 2 a 3 dimenzích. Jednorozměrný případ je také zvažován jinými způsoby.

Tři rozměry

Dlouhý limit vlnové délky

Nejprve zvažte limit dlouhé vlnové délky (${ displaystyle q až 0}$).

Za jmenovatele Lindhardova vzorce dostaneme

${ displaystyle E_ {kq} -E_ {k} = { frac { hbar ^ {2}} {2m}} (k ^ {2} -2 { vec {k}} cdot { vec {q }} + q ^ {2}) - { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} simeq - { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}$,

a pro čitatele Lindhardova vzorce dostaneme

${ displaystyle f_ {kq} -f_ {k} = f_ {k} - { vec {q}} cdot nabla _ {k} f_ {k} + cdots -f_ {k} simeq - { vec {q}} cdot nabla _ {k} f_ {k}}$.

Vložení těchto do Lindhardova vzorce a převzetí ${ displaystyle delta až 0}$ limit, získáváme

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} epsilon (0, omega _ {0}) & simeq 1 + V_ {q} sum _ {k, i} { frac {q_ {i} { frac { částečné f_ {k}} { částečné k_ {i}}}} { hbar omega _ {0} - { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}} & simeq 1 + { frac {V_ {q}} { hbar omega _ {0}}} sum _ {k, i} {q_ {i} { frac { částečné f_ {k}} { částečné k_ {i}}}} (1 + { frac { hbar { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m omega _ {0}}}) & simeq 1 + { frac {V_ {q}} { hbar omega _ {0}}} sum _ {k, i} {q_ {i } { frac { parciální f_ {k}} { parciální k_ {i}}}} { frac { hbar { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m omega _ {0}}} & = 1-V_ {q} { frac {q ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} sum _ {k} {f_ {k} } & = 1-V_ {q} { frac {q ^ {2} N} {m omega _ {0} ^ {2}}} & = 1 - { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2} L ^ {3}}} { frac {q ^ {2} N} {m omega _ {0} ^ {2}}} & = 1 - { frac { omega _ {pl} ^ {2}} { omega _ {0} ^ {2}}} end {alignedat}}}$,

kde jsme použili ${ displaystyle E_ {k} = hbar omega _ {k}}$, ${ displaystyle V_ {q} = { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2} L ^ {3}}}}$ a ${ displaystyle omega _ {pl} ^ {2} = { frac {4 pi e ^ {2} N} {L ^ {3} m}}}$.

(V jednotkách SI vyměňte faktor ${ displaystyle 4 pi}$ podle ${ displaystyle 1 / epsilon _ {0}}$.)

Tento výsledek je stejný jako u klasické dielektrické funkce.

Statický limit

Zadruhé zvažte statický limit (${ displaystyle omega + i delta až 0}$Lindhardův vzorec se stává

${ displaystyle epsilon (q, 0) = 1-V_ {q} součet _ {k} { frac {f_ {k-q} -f_ {k}} {E_ {k-q} -E_ {k}}}}$.

Vložením výše uvedených rovností pro jmenovatele a čitatele získáme

${ displaystyle epsilon (q, 0) = 1-V_ {q} součet _ {k, i} { frac {-q_ {i} { frac { částečný f} { částečný k_ {i}} }} {- { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}} = 1-V_ {q} součet _ {k, i} { frac {q_ {i} { frac { částečný f} { částečný k_ {i}}}} { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}}$.

Za předpokladu tepelné rovnovážné distribuce nosiče Fermi – Dirac dostaneme

${ displaystyle sum _ {i} {q_ {i} { frac { parciální f_ {k}} { parciální k_ {i}}}} = - sum _ {i} {q_ {i} { frac { částečné f_ {k}} { částečné mu}} { frac { částečné epsilon _ {k}} { částečné k_ {i}}}} = - součet _ {i} {q_ { i} k_ {i} { frac { hbar ^ {2}} {m}} { frac { částečné f_ {k}} { částečné mu}}}}$

tady jsme použili ${ displaystyle epsilon _ {k} = { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}$ a ${ displaystyle { frac { částečné epsilon _ {k}} { částečné k_ {i}}} = { frac { hbar ^ {2} k_ {i}} {m}}}$.

Proto,

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} epsilon (q, 0) & = 1 + V_ {q} součet _ {k, i} { frac {q_ {i} k_ {i} { frac { hbar ^ {2}} {m}} { frac { částečné f_ {k}} { částečné mu}}} { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}} = 1 + V_ {q} součet _ {k} { frac { částečný f_ {k}} { částečný mu}} = 1 + { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné mu}} { frac {1} {L ^ {3}}} součet _ {k} {f_ {k}} & = 1 + { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné mu}} { frac {N} {L ^ {3}}} = 1 + { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2}}} { frac { částečný n } { částečné mu}} ekviv 1 + { frac { kappa ^ {2}} {q ^ {2}}}. end {alignedat}}}$

Tady, ${ displaystyle kappa}$ je číslo 3D screeningové vlny (3D inverzní délka stínění) definované jako ${ displaystyle kappa = { sqrt {{ frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon}} { frac { částečný n} { částečný mu}}}}}$.

Poté je 3D staticky promítaný Coulombův potenciál dán vztahem

${ displaystyle V_ {s} (q, omega = 0) equiv { frac {V_ {q}} { epsilon (q, omega = 0)}} = { frac { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon q ^ {2} L ^ {3}}} { frac {q ^ {2} + kappa ^ {2}} {q ^ {2}}}} = { frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon L ^ {3}}} { frac {1} {q ^ {2} + kappa ^ {2}}}}$.

A Fourierova transformace tohoto výsledku dává

${ displaystyle V_ {s} (r) = součet _ {q} {{ frac {4 pi e ^ {2}} {L ^ {3} (q ^ {2} + kappa ^ {2} )}} e ^ {i { vec {q}} cdot { vec {r}}}} = { frac {e ^ {2}} {r}} e ^ {- kappa r}}$

známý jako Yukawa potenciál. Všimněte si, že v této Fourierově transformaci, která je v podstatě součtem Všechno ${ displaystyle { vec {q}}}$, použili jsme výraz pro malé ${ displaystyle | { vec {q}} |}$ pro každý hodnota ${ displaystyle { vec {q}}}$ což není správné.

Staticky stíněný potenciál (horní zakřivený povrch) a Coulombův potenciál (spodní zakřivený povrch) ve třech rozměrech

Pro zvrhlého Fermiho plyn (T= 0), Fermiho energie darováno

${ displaystyle E _ { rm {F}} = { frac { hbar ^ {2}} {2m}} (3 pi ^ {2} n) ^ { frac {2} {3}}}$,

Hustota tedy je

${ displaystyle n = { frac {1} {3 pi ^ {2}}} vlevo ({ frac {2m} { hbar ^ {2}}} E _ { rm {F}} vpravo) ^ { frac {3} {2}}}$.

Na T=0, ${ displaystyle E _ { rm {F}} equiv mu}$, tak ${ displaystyle { frac { částečné n} { částečné mu}} = { frac {3} {2}} { frac {n} {E _ { rm {F}}}}}$.

Když to vložíme do výše uvedené rovnice počtu 3D rastrovacích vln, získáme to

${ displaystyle kappa = { sqrt {{ frac {4 pi e ^ {2}} { epsilon}} { frac { částečný n} { částečný mu}}}}} = { sqrt { frac {6 pi e ^ {2} n} { epsilon E _ { rm {F}}}}}}$.

Toto je 3D Screening Thomase – Fermiho číslo vlny.

Pro referenci, Debye – Hückelův screening popisuje případ nedegenerovaného limitu. Výsledek je ${ displaystyle kappa = { sqrt { frac {4 pi e ^ {2} n beta} { epsilon}}}}$, číslo 3D screeningové vlny Debye – Hückel.

Dva rozměry

Dlouhý limit vlnové délky

Nejprve zvažte limit dlouhé vlnové délky (${ displaystyle q až 0}$).

Pro jmenovatele Lindhardova vzorce

${ displaystyle E_ {kq} -E_ {k} = { frac { hbar ^ {2}} {2m}} (k ^ {2} -2 { vec {k}} cdot { vec {q }} + q ^ {2}) - { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} simeq - { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}$,

a pro čitatele,

${ displaystyle f_ {kq} -f_ {k} = f_ {k} - { vec {q}} cdot nabla _ {k} f_ {k} + cdots -f_ {k} simeq - { vec {q}} cdot nabla _ {k} f_ {k}}$.

Vložit je do Lindhardova vzorce a vzít limit ${ displaystyle delta až 0}$, získáváme

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} epsilon (0, omega) & simeq 1 + V_ {q} součet _ {k, i} { frac {q_ {i} { frac { částečné f_ {k}} { částečné k_ {i}}}} { hbar omega _ {0} - { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q }}} {m}}}} & simeq 1 + { frac {V_ {q}} { hbar omega _ {0}}} sum _ {k, i} {q_ {i} { frac { částečný f_ {k}} { částečný k_ {i}}}} (1 + { frac { hbar { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m omega _ {0}}}) & simeq 1 + { frac {V_ {q}} { hbar omega _ {0}}} sum _ {k, i} {q_ {i} { frac { parciální f_ {k}} { parciální k_ {i}}}} { frac { hbar { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m omega _ {0}} } & = 1 + { frac {V_ {q}} { hbar omega _ {0}}} 2 int d ^ {2} k ({ frac {L} {2 pi}}) ^ {2} sum _ {i, j} {q_ {i} { frac { částečný f_ {k}} { částečný k_ {i}}}} { frac { hbar k_ {j} q_ { j}} {m omega _ {0}}} & = 1 + { frac {V_ {q} L ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} 2 int { frac {d ^ {2} k} {(2 pi) ^ {2}}} sum _ {i, j} {q_ {i} q_ {j} k_ {j} { frac { částečné f_ {k}} { částečné k_ {i}}}} & = 1 + { frac {V_ {q} L ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} součet _ {i, j} {q_ {i} q_ {j} 2 int { frac {d ^ {2} k} {(2 pi) ^ {2}}} k_ {j} { frac { částečné f_ {k}} { částečné k_ {i}}}} & = 1 - { frac {V_ {q} L ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} sum _ {i, j} {q_ {i} q_ {j} 2 int { frac {d ^ {2} k} {(2 pi) ^ {2}}} k_ {k} { frac { parciální f_ {j}} { parciální k_ {i}}}} & = 1 - { frac {V_ {q} L ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} sum _ {i, j} {q_ {i} q_ {j } n delta _ {ij}} & = 1 - { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon qL ^ {2}}} { frac {L ^ {2}} {m omega _ {0} ^ {2}}} q ^ {2} n & = 1 - { frac { omega _ {pl} ^ {2} (q)} { omega _ {0} ^ {2}}}, end {alignedat}}}$

kde jsme použili ${ displaystyle E_ {k} = hbar epsilon _ {k}}$, ${ displaystyle V_ {q} = { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon qL ^ {2}}}}$ a ${ displaystyle omega _ {pl} ^ {2} (q) = { frac {2 pi e ^ {2} nq} { epsilon m}}}$.

Statický limit

Zadruhé zvažte statický limit (${ displaystyle omega + i delta až 0}$Lindhardův vzorec se stává

${ displaystyle epsilon (q, 0) = 1-V_ {q} součet _ {k} { frac {f_ {k-q} -f_ {k}} {E_ {k-q} -E_ {k}}}}$.

Vložením výše uvedených rovností pro jmenovatele a čitatele získáme

${ displaystyle epsilon (q, 0) = 1-V_ {q} součet _ {k, i} { frac {-q_ {i} { frac { částečný f} { částečný k_ {i}} }} {- { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}} = 1-V_ {q} součet _ {k, i} { frac {q_ {i} { frac { částečný f} { částečný k_ {i}}}} { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}}}$.

Za předpokladu tepelné rovnovážné distribuce nosiče Fermi – Dirac dostáváme

${ displaystyle sum _ {i} {q_ {i} { frac { parciální f_ {k}} { parciální k_ {i}}}} = - sum _ {i} {q_ {i} { frac { částečný f_ {k}} { částečný mu}} { frac { částečný epsilon _ {k}} { částečný k_ {i}}}} = - součet _ {i} {q_ { i} k_ {i} { frac { hbar ^ {2}} {m}} { frac { částečné f_ {k}} { částečné mu}}}}$

tady jsme použili ${ displaystyle epsilon _ {k} = { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}$ a ${ displaystyle { frac { částečné epsilon _ {k}} { částečné k_ {i}}} = { frac { hbar ^ {2} k_ {i}} {m}}}$.

Proto,

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} epsilon (q, 0) & = 1 + V_ {q} součet _ {k, i} { frac {q_ {i} k_ {i} { frac { hbar ^ {2}} {m}} { frac { částečné f_ {k}} { částečné mu}}} { frac { hbar ^ {2} { vec {k}} cdot { vec {q}}} {m}}} = 1 + V_ {q} součet _ {k} { frac { částečný f_ {k}} { částečný mu}} = 1 + { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon qL ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné mu}} součet _ {k} {f_ {k}} & = 1 + { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon q}} { frac { částečné} { částečné mu}} { frac {N} {L ^ {2}}} = 1 + { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon q}} { frac { částečné n} { částečné mu}} ekviv 1 + { frac { kappa} {q} }. end {alignedat}}}$

${ displaystyle kappa}$ je číslo 2D screeningové vlny (2D inverzní délka stínění) definované jako ${ displaystyle kappa = { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon}} { frac { částečný n} { částečný mu}}}$.

Potom je dán 2D staticky stíněný Coulombův potenciál

${ displaystyle V_ {s} (q, omega = 0) equiv { frac {V_ {q}} { epsilon (q, omega = 0)}} = { frac {2 pi e ^ { 2}} { epsilon qL ^ {2}}} { frac {q} {q + kappa}} = { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon L ^ {2}}} { frac {1} {q + kappa}}}$.

Je známo, že chemický potenciál 2-dimenzionální plyn Fermi darováno

${ displaystyle mu (n, T) = { frac {1} { beta}} ln {(e ^ { hbar ^ {2} beta pi n / m} -1)}}$,

a ${ displaystyle { frac { částečné mu} { částečné n}} = { frac { hbar ^ {2} pi} {m}} { frac {1} {1-e ^ {- hbar ^ {2} beta pi n / m}}}}$.

Číslo 2D screeningové vlny tedy je

${ displaystyle kappa = { frac {2 pi e ^ {2}} { epsilon}} { frac { částečný n} { částečný mu}} = { frac {2 pi e ^ { 2}} { epsilon}} { frac {m} { hbar ^ {2} pi}} (1-e ^ {- hbar ^ {2} beta pi n / m}) = { frac {2me ^ {2}} { hbar ^ {2} epsilon}} f_ {k = 0}.}$

Tento výsledek je nezávislý na n.

Jedna dimenze

Tentokrát zvažte několik obecných případů pro snížení dimenze. Čím nižší je rozměr, tím slabší je efekt stínění. Ve spodní dimenzi procházejí některé siločáry bariérovým materiálem, přičemž stínění nemá žádný účinek. V takovém případě můžeme hádat, že stínění ovlivňuje pouze siločáry, které jsou velmi blízko k ose drátu.

Experiment

Ve skutečném experimentu bychom měli také vzít v úvahu efekt 3D hromadného screeningu, i když se zabýváme 1D případem, jako je jedno vlákno. Screening Thomas-Fermi byl aplikován na elektronový plyn omezený na vlákno a koaxiální válec.^[5] Pro K.₂Pt (CN)₄Cl_0.32· 2,6 H₂0 vlákna, bylo zjištěno, že potenciál v oblasti mezi vláknem a válcem se mění jako ${ displaystyle e ^ {- k _ { rm {eff}} r} / r}$ a jeho efektivní délka stínění je asi 10krát delší než u kovové Platina.^[5]

Viz také

• Kohnova anomálie
• Pomerančukova nestabilita

Reference

Všeobecné

• Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Kvantová teorie optických a elektronických vlastností polovodičů (4. vydání). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN  978-981-238-609-0.