Poloidální – toroidní rozklad - Poloidal–toroidal decomposition - Wikipedia

v vektorový počet, téma v čistém a aplikovaném matematika, a poloidální – toroidní rozklad je omezená forma Helmholtzův rozklad. Často se používá v sférické souřadnice analýza solenoidová vektorová pole, například, magnetické pole a nestlačitelné tekutiny.^[1]

Definice

Pro trojrozměrný vektorové pole F s nulou divergence

${ displaystyle nabla cdot mathbf {F} = 0,}$

tento F lze vyjádřit jako součet toroidního pole T a poloidální vektorové pole P

${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {T} + mathbf {P}}$

kde r je radiální vektor v sférické souřadnice (r, θ, φ). Toroidní pole se získá z a skalární pole, Ψ(r, θ, φ),^[2] jako následující kučera,

${ displaystyle mathbf {T} = nabla krát ( mathbf {r} Psi ( mathbf {r}))}$

a poloidální pole je odvozeno z jiného skalárního pole Φ (r, θ, φ),^[3] jako dvakrát iterované zvlnění,

${ displaystyle mathbf {P} = nabla times ( nabla times ( mathbf {r} Phi ( mathbf {r}))) ,.}$

Tento rozklad je symetrický v tom, že zvlnění toroidního pole je poloidální a zvlnění poloidního pole je toroidní, známé jako Funkce Chandrasekhar – Kendall.^[4]

Geometrie

Toroidní vektorové pole je tangenciální ke sférám kolem počátku,^[4]

${ displaystyle mathbf {r} cdot mathbf {T} = 0}$

zatímco zvlnění poloidálního pole je tangenciální k těmto sférám

${ displaystyle mathbf {r} cdot ( nabla times mathbf {P}) = 0.}$^[5]

Poloidální-toroidní rozklad je jedinečný, pokud je požadováno, aby průměr skalárních polí Ψ a Φ zmizel na každé sféře poloměru r.^[3]

Kartézský rozklad

Poloidální-toroidní rozklad také existuje v Kartézské souřadnice, ale v tomto případě je třeba zahrnout tok středního pole. Například každé solenoidové vektorové pole lze zapsat jako

${ displaystyle mathbf {F} (x, y, z) = nabla krát g (x, y, z) { hat { mathbf {z}}} + nabla krát ( nabla krát h (x, y, z) { hat { mathbf {z}}}) + b_ {x} (z) { hat { mathbf {x}}} + b_ {y} (z) { hat { mathbf {y}}},}$

kde ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}}, { hat { mathbf {y}}}, { hat { mathbf {z}}}}$ označit jednotkové vektory ve směrech souřadnic.^[6]

Viz také

• Toroidní a poloidální
• Funkce Chandrasekhar – Kendall

Poznámky

Reference

• Hydrodynamická a elektromagnetická stabilita, Chandrasekhar, Subrahmanyan; International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961, s. 1. 622.
• Rozklad solenoidových polí na poloidální pole, toroidní pole a střední tok. Aplikace na boussinesqovy rovnice Schmitt, B. J. a von Wahl, W; v Navier-Stokesovy rovnice II - teorie a numerické metody, str. 291–305; Přednášky z matematiky, Springer Berlin / Heidelberg, sv. 1530/1992.
• Anelastické magnetohydrodynamické rovnice pro modelování solárních a hvězdných konvekčních zón Lantz, S. R. a Fan, Y .; Astrophysical Journal Supplement Series, svazek 121, číslo 1, březen 1999, str. 247–264.
• Rovinný poloidální-toroidní rozklad dvojnásobně periodických vektorových polí: Část 1. Pole s odlišností a Část 2. Stokesovy rovnice. G. D. McBain. ANZIAM J. 47 (2005)
• Backus, George (1986), „Poloidální a toroidní pole v modelování geomagnetického pole“, Recenze geofyziky, 24: 75–109, Bibcode:1986RvGeo..24 ... 75B, doi:10.1029 / RG024i001p00075.
• Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine (1996), Základy geomagnetismu, Cambridge University Press, ISBN  0-521-41006-1.
• Jones, Chris, Teorie dynama (PDF).