Funkce Chandrasekhar – Kendall - Chandrasekhar–Kendall function - Wikipedia

Funkce Chandrasekhar – Kendall jsou osově souměrné vlastní funkce kučera operátor, odvozený od Subrahmanyan Chandrasekhar a P.C. Kendall v roce 1957,^[1]^[2] ve snaze vyřešit magnetické pole bez síly. Výsledky byly nezávisle odvozeny oběma, ale bylo dohodnuto, že příspěvek bude publikován společně.

Pokud je rovnice magnetického pole bez síly zapsána jako ${ displaystyle nabla times mathbf {H} = lambda mathbf {H}}$ s předpokladem divergence volného pole ( ${ displaystyle nabla cdot mathbf {H} = 0}$ ), pak je nejobecnějším řešením pro osově symetrický případ

{ displaystyle mathbf {H} = { frac {1} { lambda}} nabla times ( nabla times psi mathbf { hat {n}}) + nabla times psi mathbf { hat {n}}}

kde ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je jednotkový vektor a skalární funkce ${ displaystyle psi}$ uspokojuje Helmholtzova rovnice, tj.,

{ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda ^ {2} psi = 0.}

Stejná rovnice se také objevuje v dynamice tekutin v Beltrami teče kde vektor vorticity je rovnoběžný s vektorem rychlosti, tj. ${ displaystyle nabla times mathbf {v} = lambda mathbf {v}}$ .

Derivace

Zvlnění rovnice ${ displaystyle nabla times mathbf {H} = lambda mathbf {H}}$ a pomocí stejné rovnice dostaneme

{ displaystyle nabla times ( nabla times mathbf {H}) = lambda ^ {2} mathbf {H}}

.

Ve vektorové identitě ${ displaystyle nabla times left ( nabla times mathbf {H} right) = nabla ( nabla cdot mathbf {H}) - nabla ^ {2} mathbf {H}}$ , můžeme nastavit ${ displaystyle nabla cdot mathbf {H} = 0}$ protože je solenoidní, což vede k vektoru Helmholtzova rovnice,

{ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {H} + lambda ^ {2} mathbf {H} = 0}

.

Každé řešení výše uvedené rovnice není řešením původní rovnice, ale obrácení je pravdivé. Li ${ displaystyle psi}$ je skalární funkce, která splňuje rovnici ${ displaystyle nabla ^ {2} psi + lambda ^ {2} psi = 0}$ , pak tři lineárně nezávislá řešení vektoru Helmholtzova rovnice jsou dány

{ displaystyle mathbf {L} = nabla psi, quad mathbf {T} = nabla times psi mathbf { hat {n}}, quad mathbf {S} = { frac { 1} { lambda}} nabla times mathbf {T}}

kde ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je vektor pevné jednotky. Od té doby ${ displaystyle nabla times mathbf {S} = lambda mathbf {T}}$ , lze to najít ${ displaystyle nabla times ( mathbf {S} + mathbf {T}) = lambda ( mathbf {S} + mathbf {T})}$ . Ale toto je tedy stejné jako původní rovnice ${ displaystyle mathbf {H} = mathbf {S} + mathbf {T}}$ , kde ${ displaystyle mathbf {S}}$ je poloidální pole a ${ displaystyle mathbf {T}}$ je toroidní pole. Tedy střídání ${ displaystyle mathbf {T}}$ v ${ displaystyle mathbf {S}}$ , dostaneme nejobecnější řešení jako

{ displaystyle mathbf {H} = { frac {1} { lambda}} nabla times ( nabla times psi mathbf { hat {n}}) + nabla times psi mathbf { hat {n}}.}

Válcové polární souřadnice

Vezmeme-li jednotkový vektor v ${ displaystyle z}$ směr, tj. ${ displaystyle mathbf { hat {n}} = mathbf {e} _ {z}}$ , s periodicitou ${ displaystyle L}$ v ${ displaystyle z}$ směr s mizejícími okrajovými podmínkami v ${ displaystyle r = a}$ , řešení je dáno^[3]^[4]

{ displaystyle psi = J_ {m} ( mu _ {j} r) e ^ {im theta + ikz}, quad lambda = pm ( mu _ {j} ^ {2} + k ^ {2}) ^ {1/2}}

kde ${ displaystyle J_ {m}}$ je Besselova funkce, ${ displaystyle k = pm 2 pi n / L, n = 0,1,2, ldots}$ , celá čísla ${ displaystyle m = 0, pm 1, pm 2, ldots}$ a ${ displaystyle mu _ {j}}$ je určena okrajovou podmínkou ${ displaystyle ak mu _ {j} J_ {m} '( mu _ {j} a) + m lambda J_ {m} ( mu _ {j} a) = 0.}$ Vlastní čísla pro ${ displaystyle m = n = 0}$ musí být řešeny samostatně ${ displaystyle mathbf { hat {n}} = mathbf {e} _ {z}}$ , můžeme myslet ${ displaystyle z}$ směr být toroidní a ${ displaystyle theta}$ směr být poloidální, v souladu s úmluvou.