Pokhozhaevova identita - Pokhozhaevs identity - Wikipedia

Pokhozhaevova identita je integrální vztah uspokojený stacionárním lokalizovaná řešení do a nelineární Schrödingerova rovnice nebo nelineární Klein-Gordonova rovnice. To bylo získáno S. Pokhozhaev^[1] a je podobný Virová věta. Tento vztah je také známý jako Derrickova věta. Podobné identity lze odvodit i pro jiné rovnice matematické fyziky.

Pokhozhaevova identita pro stacionární nelineární Schrödingerovu rovnici

Zde je obecná forma kvůli H. Berestycki a P.-L. Lvi.^[2]

Nechat ${ displaystyle g (y)}$ být kontinuální a reálné, s ${ displaystyle g (0) = 0}$.Denote ${ displaystyle G (s) = int _ {0} ^ {s} g (t) , dt}$.Nechat

${ displaystyle u in L _ { mathrm {loc}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad nabla u in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad G (u) v L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad n v mathbb {N},}$

být řešením rovnice

${ displaystyle - nabla ^ {2} u = g (u)}$,

ve smyslu distribucí. Pak ${ displaystyle u}$ uspokojuje vztah

${ displaystyle (n-2) int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u (x) | ^ {2} , dx = n int _ { mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) , dx.}$

Pokhozhaevova identita pro stacionární nelineární Diracovu rovnici

Nechat ${ displaystyle n in mathbb {N}, , N in mathbb {N}}$a nechte ${ displaystyle alpha ^ {i}, , 1 leq i leq n}$ a ${ displaystyle beta}$ být samoadjung Diracovy matice velikosti ${ displaystyle N krát N}$:

${ displaystyle alpha ^ {i} alpha ^ {j} + alpha ^ {j} alpha ^ {i} = 2 delta _ {ij} I_ {N}, quad beta ^ {2} = I_ {N}, quad alpha ^ {i} beta + beta alpha ^ {i} = 0, quad 1 leq i, j leq n.}$

Nechat ${ displaystyle D_ {0} = - mathrm {i} alpha cdot nabla = - mathrm {i} sum _ {i = 1} ^ {n} alpha ^ {i} { frac { částečné} { částečné x ^ {i}}}}$ být nehmotný Dirac operátor.Nechat ${ displaystyle g (y)}$ být kontinuální a reálné, s ${ displaystyle g (0) = 0}$.Denote ${ displaystyle G (s) = int _ {0} ^ {s} g (t) , dt}$.Nechat ${ displaystyle phi in L _ { mathrm {loc}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}, mathbb {C} ^ {N})}$ být spinor - hodnotné řešení, které splňuje stacionární formu nelineární Diracova rovnice,

${ displaystyle omega phi = D_ {0} phi + g ( phi ^ { ast} beta phi) beta phi,}$

ve smyslu distribucí,s nějakým ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$.Předpokládat, že

${ displaystyle phi v H ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}, mathbb {C} ^ {N}), qquad G ( phi ^ { ast} beta phi) v L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}).}$

Pak ${ displaystyle phi}$ uspokojuje vztah

${ displaystyle omega int _ { mathbb {R} ^ {n}} phi (x) ^ { ast} phi (x) , dx = { frac {n-1} {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} phi (x) ^ { ast} D_ {0} phi (x) , dx + int _ { mathbb {R} ^ {n}} G ( phi (x) ^ { ast} beta phi (x)) , dx.}$

Viz také

• Virová věta
• Derrickova věta

Reference