Derricksova věta - Derricks theorem - Wikipedia

Derrickova věta je argument kvůli fyzikovi G.H. Derrick, který to ukazuje stacionární lokalizovaná řešení do a nelineární vlnová rovnice nebo nelineární Klein-Gordonova rovnice v prostorových rozměrech tři a vyšší jsou nestabilní.

Původní argument

Derrickův papír,^[1]který byl považován za překážku interpretace solitonových řešení jako částic, obsahoval následující fyzický argument o neexistenci stabilního lokalizovaná stacionární řešení k nelineární vlnové rovnici

${ displaystyle nabla ^ {2} theta - { frac { částečné ^ {2} theta} { částečné t ^ {2}}} = { frac {1} {2}} f '( theta), qquad theta (x, t) in mathbb {R}, quad x in mathbb {R} ^ {3},}$,

nyní známý pod jménem Derrickova věta. (Nahoře, ${ displaystyle f (s)}$ je rozlišitelná funkce s ${ displaystyle f '(0) = 0}$.)

Energie časově nezávislého řešení ${ displaystyle theta (x) ,}$darováno

${ displaystyle E = int left [( nabla theta) ^ {2} + f ( theta) right] , d ^ {3} x.}$

Nutná podmínka, aby bylo řešení stabilní ${ displaystyle delta ^ {2} E geq 0 ,}$.Předpokládat ${ displaystyle theta (x) ,}$ je lokalizované řešení${ displaystyle delta E = 0 ,}$. Definovat ${ displaystyle theta _ { lambda} (x) = theta ( lambda x) ,}$ kde${ displaystyle lambda}$ je libovolná konstanta a psát${ displaystyle I_ {1} = int ( nabla theta) ^ {2} d ^ {3} x}$,${ displaystyle I_ {2} = int f ( theta) d ^ {3} x}$.Pak

${ displaystyle E _ { lambda} = int left [( nabla theta _ { lambda}) ^ {2} + f ( theta _ { lambda}) right] d ^ {3} x = I_ {1} / lambda + I_ {2} / lambda ^ {3}.}$

Odkud${ displaystyle (dE _ { lambda} / d lambda) vert _ { lambda = 1} = - I_ {1} -3I_ {2} = 0 ,}$,a od té doby ${ displaystyle I_ {1}> 0 ,}$,

${ displaystyle (d ^ {2} E _ { lambda} / d lambda ^ {2}) vert _ { lambda = 1} = 2I_ {1} + 12I_ {2} = - 2I_ {1} , <0.}$

To znamená ${ displaystyle delta ^ {2} E <0 ,}$ pro změnu odpovídající rovnoměrnému roztažení částiceProto tedy řešení ${ displaystyle theta (x) ,}$ je nestabilní.

Derrickův argument funguje ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$, ${ displaystyle n geq 3 ,}$.

Pokhozhaevova identita

Obecněji,^[2]nechat ${ displaystyle g}$ být spojitý, s ${ displaystyle g (0) = 0}$.Denote ${ displaystyle G (s) = int _ {0} ^ {s} g (t) , dt}$.Nechat

${ displaystyle u in L _ { mathrm {loc}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad nabla u in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad G (u ( cdot)) v L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n}), qquad n v mathbb {N},}$

být řešením rovnice

${ displaystyle - nabla ^ {2} u = g (u)}$,

ve smyslu distribucí. Pak ${ displaystyle u}$ uspokojuje vztah

${ displaystyle (n-2) int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u (x) | ^ {2} , dx = n int _ { mathbb {R} ^ { n}} G (u (x)) , dx,}$

známý jako Pokhozhaevova identita (někdy hláskováno jako Pohozaevova identita).^[3]Tento výsledek je podobný Virová věta.

Interpretace v hamiltonovské formě

Můžeme napsat rovnici${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} u = nabla ^ {2} u - { frac {1} {2}} f '(u)}$v Hamiltonova forma${ displaystyle částečné _ {t} u = delta _ {v} H (u, v)}$,${ displaystyle částečné _ {t} v = - delta _ {u} H (u, v)}$,kde ${ displaystyle u, , v}$ jsou funkce ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}, , t in mathbb {R}}$, Hamiltonova funkce darováno

${ displaystyle H (u, v) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} vlevo ({ frac {1} {2}} | v | ^ {2} + { frac {1 } {2}} | nabla u | ^ {2} + { frac {1} {2}} f (u) right) , dx,}$

a ${ displaystyle delta _ {u} H ,}$, ${ displaystyle delta _ {v} H ,}$jsouvariační deriváty z ${ displaystyle H (u, v) ,}$.

Pak stacionární řešení ${ displaystyle u (x, t) = theta (x) ,}$má energii${ displaystyle H ( theta, 0) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} left ({ frac {1} {2}} | nabla theta | ^ {2} + { frac {1} {2}} f ( theta) right) , d ^ {n} x}$a vyhovuje rovnici

${ displaystyle 0 = částečné _ {t} theta (x) = - částečné _ {u} H ( theta, 0) = { frac {1} {2}} E '( theta),}$

s${ displaystyle E ',}$ označující variační derivaci funkční${ displaystyle E = int _ { mathbb {R} ^ {n}} [ vert nabla theta vert ^ {2} + f ( theta)] , d ^ {n} x}$. Ačkoli řešení ${ displaystyle theta (x) ,}$je kritickým bodem ${ displaystyle E ,}$ (od té doby ${ displaystyle E '( theta) = 0 ,}$), To ukazuje Derrickův argument${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {d lambda , ^ {2}}} E ( theta ( lambda x)) <0}$na ${ displaystyle lambda = 1 ,}$,proto${ displaystyle u (x, t) = theta (x) ,}$není bodem místního minima energetické funkce ${ displaystyle H ,}$Fyzicky tedy řešení ${ displaystyle theta (x) ,}$ Očekává se, že bude nestabilní. Související výsledek, který ukazuje minimalizaci energie lokalizovaných stacionárních stavů (s argumentem psaným také pro ${ displaystyle n = 3}$, ačkoli derivace je platná v rozměrech ${ displaystyle n geq 2}$) získal R.H. Hobart v roce 1963.^[4]

Vztah k lineární nestabilitě

Silnější prohlášení, lineární (nebo exponenciální) nestabilita lokalizovaného stacionárního řešení nelineární vlnové rovnice (v jakékoli prostorové dimenzi) dokazují P. Karageorgis a W.A. Strauss v roce 2007.^[5]

Stabilita lokalizovaných časově periodických řešení

Derrick popisuje několik možných východisek z této obtížnosti, včetně domněnky o tom Elementární částice mohou odpovídat stabilním lokalizovaným řešením, která jsou periodická v čase, spíše než časově nezávislá.Později se to ukázalo^[6] že a periodicky osamělá vlna ${ displaystyle u (x, t) = phi _ { omega} (x) e ^ {- i omega t} ,}$ s frekvencí ${ displaystyle omega ,}$ možná orbitálně stabilní pokud Kritérium stability Vakhitov – Kolokolov je spokojen.

Viz také

• Orbitální stabilita
• Pokhozhaevova identita
• Kritérium stability Vakhitov – Kolokolov
• Virová věta

Reference