Paralelní (operátor) - Parallel (operator)

Grafická interpretace paralelního operátoru s ${ displaystyle a paralelní b = c}$.

The paralelní operátor (také známý jako snížená částka, paralelní součet nebo paralelní sčítání) ${ displaystyle |}$ (vyslovuje se „paralelně“,^[1] v návaznosti na zápis rovnoběžných čar z geometrie^[2][3]) je matematická funkce který se používá jako zkratka v elektrotechnika,^{[4][5][6][poznámka 1]} ale také se používá v kinetika, mechanika tekutin a finanční matematika.^[7][8]

Přehled

Paralelní operátor představuje reciproční hodnota součtu vzájemných hodnot (někdy označovaných také jako „vzájemný vzorec“) a je definována:^{[9][6][10][11]}

${ displaystyle { begin {aligned} {} parallel {}: && { overline { mathbb {C}}} times { overline { mathbb {C}}} & {{overline { mathbb {C}}} && (a, b) & mapsto a parallel b = { frac {1} {{ frac {1} {a}} + { frac {1} {b}}} } = { frac {ab} {a + b}}, end {zarovnáno}}}$

s ${ displaystyle { overline { mathbb {C}}} = mathbb {C} pohár { infty }}$ být rozšířená komplexní čísla (s příslušnými pravidly).^{[12][je zapotřebí objasnění ]} Pozdější forma se někdy označuje také jako „souhrnný produkt“.

Provozovatel dává polovinu z harmonický průměr dvou čísel A a b.^[7][8]

Jako zvláštní případ pro ${ displaystyle a in { overline { mathbb {C}}}}$:

${ displaystyle a paralelní a = { frac {a} {2}}}$.

Dále pro všechny ${ displaystyle a, b in { overline { mathbb {C}}}}$:

${ displaystyle a neq b iff { big |} a paralelní b { big |}> { frac {1} {2}} min (| a |, | b |)}$

s ${ displaystyle { big |} a paralelní b { big |}}$ zastupující absolutní hodnota z ${ displaystyle a paralelní b}$.

S ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ následuje kladná reálná čísla ${ displaystyle { big |} a paralelní b { velké |} < min (a, b)}$.

Koncept byl rozšířen z a skalární operace do matice^{[13][14][15][16][17]} a dál zobecněný.^[18]

Zápis

Provozovatel byl původně představen jako snížená částka Sundaram Seshu v roce 1956,^[19][20][13] studoval jako operátor∗ Kent E. Erickson v roce 1959,^[21][22][13] a popularizován Richard James Duffin a William Niles Anderson, Jr. as paralelní sčítání nebo paralelní součet operátor: v matematika a teorie sítí od roku 1966.^[14][15][1] Zatímco někteří autoři tento symbol používají dodnes,^[7][8] například použit Sujit Kumar Mitra ∙ jako symbol v roce 1970.^[13] v aplikovaná elektronika, a∥ později se znak stal běžnějším jako symbol operátora.^{[23][24][25][26][poznámka 1][pozn. 2]} Toto bylo často psáno jako zdvojnásobená svislá čára (||) dostupná ve většině znakové sady, ale nyní lze reprezentovat pomocí Unicode znak U + 2225 (∥) pro „paralelně s“. v Latex a související značkovací jazyky, makra \| a paralelní se často používají k označení symbolu operátora.

Pravidla

Pro přidání, paralelní operátor sleduje komutativní právo:

${ displaystyle a paralelní b = b paralelní a}$

a asociační právo:^[12][7][8]

${ displaystyle (a paralelní b) paralelní c = a paralelní (b paralelní c) = a paralelní b paralelní c = { frac {1} {{ frac {1} {a}} + { frac {1} {b}} + { frac {1} {c}}}} = { frac {abc} {ab + ac + bc}}}$

Násobení je distribuční během této operace.^[1][7][8]

Dále má paralelní operátor ${ displaystyle infty}$ tak jako neutrální prvek a pro ${ displaystyle a in { overline { mathbb {C}}} setminus {0 },}$ číslo ${ displaystyle -a}$ tak jako inverzní prvek. Nicméně, ${ displaystyle left ({ overline { mathbb {C}}}, paralelní vpravo)}$ není abelianská skupina, tak jako ${ displaystyle a paralelní 0 = 0}$ pro každou nenulovou hodnotu A, a ${ displaystyle 0 paralelní 0}$ není dobře definován (neurčitá forma ).

Při absenci závorek je paralelní operátor definován jako mít přednost nad sčítáním nebo odčítáním.^{[1][27][9][10]}

Aplikace

v elektrotechnika, paralelní operátor lze použít k výpočtu celkové impedance různých sériové a paralelní elektrické obvody.^{[pozn. 2]}

Například celkem odpor z paralelně zapojené odpory je převrácená hodnota součtu převrácených hodnot jednotlivce rezistory.

${ displaystyle { frac {1} {R _ { text {eq}}}} = { frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} + cdots + { frac {1} {R_ {n}}}}$.

Stejně tak pro součet kapacita seriálu kondenzátory.^{[pozn. 2]}

Stejný princip lze aplikovat na různé problémy v jiných oborech.

Tady je dualita mezi obvyklým (série) součet a paralelní součet.^[7][8]

Příklady

Otázka:

Tři odpory ${ displaystyle R_ {1} = 270 , mathrm {k Omega}}$, ${ displaystyle R_ {2} = 180 , mathrm {k Omega}}$ a ${ displaystyle R_ {3} = 120 , mathrm {k Omega}}$ jsou připojeni paralelní. Jaký je jejich výsledný odpor?

Odpovědět:

${ displaystyle R_ {1} paralelní R_ {2} paralelní R_ {3} = 270 , mathrm {k Omega} paralelní 180 , mathrm {k Omega} paralelní 120 , mathrm { k Omega} = { frac {1} {{ frac {1} {270 , mathrm {k Omega}}} + { frac {1} {180 , mathrm {k Omega}} } + { frac {1} {120 , mathrm {k Omega}}}}} přibližně 56,84 , mathrm {k Omega}}$

Účinně výsledný odpor je ca. 57 kΩ.

Otázka:^[7][8]

Stavební dělník zvedne zeď za 5 hodin. Jiný pracovník by na stejnou práci potřeboval 7 hodin. Jak dlouho trvá stavba zdi, pokud oba pracovníci pracují paralelně?

Odpovědět:

${ displaystyle t_ {1} paralelní t_ {2} = 5 , mathrm {h} paralelní 7 , mathrm {h} = { frac {1} {{ frac {1} {5 , mathrm {h}}} + { frac {1} {7 , mathrm {h}}}}} přibližně 2,92 , mathrm {h}}$

Dokončí za téměř 3 hodiny.

Implementace

WP 34S s paralelním operátorem (∥) na G+÷ klíč.

Již navrhl Kent E. Erickson jako podprogram v digitálních počítačích v roce 1959,^[21] paralelní operátor je implementován jako operátor klávesnice na Reverzní polská notace (RPN) vědecké kalkulačky WP 34S od roku 2008^[28][29][30] stejně jako na WP 34C^[31] a WP 43S od roku 2015,^[32][33] umožňující řešit i kaskádové problémy pomocí několika stisků kláves 270↵ Vstupte180∥120∥.

Poznámky

Reference

Další čtení

• Pekarev, Èdward L .; Šmul'jan, Ju. L. (1976-04-30). „Paralelní sčítání a paralelní odečítání operátorů“. Matematika SSSR-Izvestiya. Americká matematická společnost. 10 (2): 351–370. Bibcode:1976IzMat..10..351P. doi:10.1070 / IM1976v010n02ABEH001694.
• Duffin, Richard James; Morley, Tom D. (červenec 1978). "Téměř určití operátoři a elektromechanické systémy". SIAM Journal on Applied Mathematics. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (SIAM). 35 (1): 21–30. doi:10.1137/0135003. JSTOR  2101028. (10 stránek)
• Morley, Tom D. (červenec 1979). „Parallel Summation, Maxwell's Principle and the Infimum of Projitions“ (PDF). Journal of Mathematical Analysis and Applications. Katedra matematiky, University of Illinois v Urbana-Champaign, Urbana, Illinois, USA. 70 (1): 33–41. doi:10.1016 / 0022-247X (79) 90073-8. Archivováno od originálu 2020-08-20. Citováno 2020-08-20.
• Seeger, Alberto (květen 1990) [1988-03-22]. „Přímé a inverzní přidání v konvexní analýze a aplikacích“ (PDF). Journal of Mathematical Analysis and Applications. Katedra matematiky, University of Washington, Seattle, Washington, USA: Academic Press, Inc. 148 (2): 317–349. doi:10.1016 / 0022-247X (90) 90004-Y. Archivováno (PDF) od originálu 2020-08-20. Citováno 2020-08-20. (33 stránek)
• Bryant, Randal E.; Tygar, J. Doug; Huang, Lawrence P. (1994). "Geometrická charakterizace sériově paralelních sítí s proměnnými rezistory" (PDF). Transakce IEEE na obvodech a systémech I: Základní teorie a aplikace. 41 (11): 686–698. doi:10.1109/81.331520. Archivovány od originál (PDF) dne 2017-08-14.
• Antezana, Jorge; Corach, Gustavo; Stojanoff, Demetrio (duben 2006) [2005-09-14]. „Bilaterální zkrácení operátoři a paralelní částky“ (PDF). Lineární algebra a její aplikace. La Plata, Argentina a Buenos Aires, Argentina. 414 (2–3): 570–588. arXiv:matematika / 0509327. doi:10.1016 / j.laa.2005.10.039. Archivováno (PDF) z původního dne 2017-08-09. Citováno 2020-08-20. [13] (19 stránek)
• Chansangiam, Pattrawut (únor 2016) [srpen 2015, červenec 2015]. „Matematické aspekty připojení k elektrické síti“. KKU Engineering Journal. 43 (1): 47–54. doi:10.14456 / kkuenj.2016.8. Archivováno (PDF) od originálu 2020-08-20. Citováno 2020-08-20.
• Besenyei, Ádám (01.09.2016). „Neodolatelná nerovnost Milne“ (PDF). Budapešť: Katedra aplikované analýzy a výpočetní matematiky, Univerzita Eötvöse Loránda. CIA2016. Archivováno (PDF) od původního dne 08.08.2019. Citováno 2019-08-11.

externí odkazy

• https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py