P-Laplacian - P-Laplacian

v matematika, p-Laplacian, nebo p-Laplace operátor, je kvazilineární eliptický operátor částečného diferenciálu 2. řádu. Jedná se o nelineární zobecnění Operátor Laplace, kde ${displaystyle p}$ je povoleno přesahovat ${displaystyle 1$

. Je psán jako

${displaystyle Delta _ {p} u: = abla cdot (| abla u | ^ {p-2} abla u).}$

Kde ${displaystyle | abla u | ^ {p-2}}$ je definován jako

${displaystyle quad | abla u | ^ {p-2} = vlevo [extstyle vlevo ({frac {částečné u} {částečné x_ {1}}} vpravo) ^ {2} + cdots + vlevo ({frac {částečné u} {částečné x_ {n}}} ight) ^ {2} ight] ^ {frac {p-2} {2}}}$

Ve zvláštním případě, když ${displaystyle p = 2}$, tento operátor se redukuje na obvyklé Laplacian.^[1] Obecná řešení rovnic zahrnujících p-Laplacian nemá deriváty druhého řádu v klasickém smyslu, takže řešení těchto rovnic je třeba chápat jako slabá řešení. Například říkáme, že funkce u patřící k Sobolevův prostor ${displaystyle W ^ {1, p} (Omega)}$ je slabé řešení

${displaystyle Delta _ {p} u = 0 {mbox {in}} Omega}$

pokud pro každou testovací funkci ${displaystyle varphi in C_ {0} ^ {infty} (Omega)}$ my máme

${displaystyle int _ {Omega} | abla u | ^ {p-2} abla ucdot abla varphi, dx = 0}$

kde ${displaystyle cdot}$ označuje standard skalární součin.

Energetická formulace

Slabé řešení p-Laplaceova rovnice s Dirichletovy okrajové podmínky

${displaystyle {egin {cases} -Delta _ {p} u = f & {mbox {in}} Omega u = g & {mbox {on}} částečný konec Omega {případy}}}$

v doméně ${displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {N}}$ je minimalizátor energie funkční

${displaystyle J (u) = {frac {1} {p}}, int _ {Omega} | abla u | ^ {p}, dx-int _ {Omega} f, u, dx}$

mezi všemi funkcemi v Sobolevův prostor ${displaystyle W ^ {1, p} (Omega)}$ splňující okrajové podmínky v stopa smysl.^[1] V konkrétním případě ${displaystyle f = 1, g = 0}$ a ${displaystyle Omega}$ je koule o poloměru 1, slabé řešení výše uvedeného problému lze explicitně vypočítat a je dáno vztahem

${displaystyle u (x) = C, vlevo (1- | x | ^ {frac {p} {p-1}} vpravo)}$

kde ${displaystyle C}$ je vhodná konstanta v závislosti na dimenzi ${displaystyle N}$ a dál ${displaystyle p}$ pouze. Dodržujte to pro ${displaystyle p> 2}$ řešení není dvakrát rozlišitelný v klasickém smyslu.

Poznámky

Zdroje

• Evans, Lawrence C. (1982). „Nový místní důkaz ${displaystyle C ^ {1, alpha}}$ Pravidelnost pro řešení určitých degenerovaných eliptických P.D.E. “. Deník diferenciálních rovnic. 45: 356–373. doi:10.1016 / 0022-0396 (82) 90033-x. PAN  0672713.
• Lewis, John L. (1977). Msgstr "Kapacitní funkce v konvexních prstencích". Archiv pro racionální mechaniku a analýzu. 66: 201–224. doi:10.1007 / bf00250671. PAN  0477094.

Další čtení

• Ladyženskaja, O. A.; Solonnikov, V. A.; Ural'ceva, N. N. (1968), Lineární a kvazilineární rovnice parabolického typu Překlady matematických monografií, 23, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. XI + 648, PAN  0241821, Zbl  0174.15403.
• Uhlenbeck, K. (1977). "Pravidelnost pro třídu nelineárních eliptických systémů". Acta Mathematica. 138: 219–240. doi:10.1007 / bf02392316. PAN  0474389.
• Poznámky k p-Laplaceově rovnici Peter Lindqvist
• Juan Manfredi, Princip silného srovnání pro p-harmonické funkce

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.