Napiersovy kosti - Napiers bones - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2007) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek obsahuje pokyny, rady nebo návody k obsahu. Účelem Wikipedie je prezentovat fakta, ne trénovat. Prosím pomozte vylepšit tento článek přepsáním obsahu jak na to nebo stěhování to Wikiverzita, Wikibooks nebo Wikislovník. (Duben 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Neobvyklá sada Napierových kostí z 18. století, ve které jsou čísla spíše na rotujících válcích než na prutech čtvercového průřezu

Napierovy kosti je ručně ovládané počítací zařízení vytvořené společností John Napier z Merchiston, Skotsko pro výpočet výrobků a kvocienty čísel. Metoda byla založena na násobení mřížky, a také se mu říká „rabdologie“, slovo, které vynalezl Napier. Napier vydal jeho verzi v roce 1617 v roce Rabdologiæ,^[1] vytištěno v Edinburgh, věnovaný svému patronovi Alexander Seton.

Pomocí multiplikačních tabulek zabudovaných do prutů lze multiplikaci omezit na operace sčítání a dělení na odčítání. Pokročilé použití prutů může extrahovat odmocniny. Napierovy kosti nejsou stejné jako logaritmy, s nimiž je také spojeno Napierovo jméno, ale jsou založeny na členitých tabulkách násobení.

Kompletní zařízení obvykle obsahuje základní desku s okrajem; uživatel umístí Napierovy tyče dovnitř ráfku, aby provedl množení nebo dělení. Levý okraj desky je rozdělen na devět čtverců, které obsahují čísla 1 až 9. V původním Napierově designu jsou pruty vyrobeny z kovu, dřeva nebo slonoviny a mají čtvercový průřez. Na každém prutu je na každé ze čtyř tváří vyryto znásobení. V některých pozdějších provedeních jsou tyče ploché a mají dva stoly nebo na nich vyryty pouze jeden a jsou vyrobeny z plastu nebo těžké lepenky. Sada takových kostí může být uzavřena v kufříku.

Tvář prutu je označena devíti čtverci. Každý čtverec kromě vrcholu je rozdělen na dvě poloviny diagonální čarou od levého dolního rohu k pravému hornímu rohu. Čtverce obsahují jednoduchou násobilku. První obsahuje jednu číslici, kterou Napier nazval „single“. Ostatní drží násobky singlu, jmenovitě dvojnásobek singlu, třikrát singl atd., A to až do devátého čtverce obsahujícího devětkrát vyšší počet v horním políčku. Jednociferná čísla se zapisují do pravého dolního trojúhelníku, přičemž druhý trojúhelník zůstane prázdný, zatímco dvouciferná čísla se zapisují s číslicí na obou stranách úhlopříčky.

Pokud jsou tabulky drženy na jednostranných prutech, je potřeba 40 prutů, aby se rozmnožily čtyřmístné čísla - protože čísla mohou mít opakované číslice, jsou pro každou z číslic 0 až 9 zapotřebí čtyři kopie tabulky násobení. Pokud se použijí hranaté pruty, lze na 10 prutů napsat 40 multiplikačních stolů. Napier uvedl podrobnosti schématu pro uspořádání stolů tak, aby žádný prut neměl dvě kopie stejného stolu, což umožnilo, aby každé možné čtyřmístné číslo bylo reprezentováno 4 z 10 prutů. Sada 20 prutů, skládající se ze dvou identických kopií Napierových 10 prutů, umožňuje výpočet s počty až osmi číslic a pro 30místná čísla lze použít sadu 30 prutů.

Násobení

Nejjednodušší způsob násobení, číslo s více číslicemi číslem s jednou číslicí, se provádí umístěním tyčí představujících víceciferné číslo do rámečku proti levému okraji. Odpověď je načtena z řádku odpovídajícího jednomístnému číslu, které je označeno vlevo od rámečku, s malým množstvím požadovaného přidání, jak je vysvětleno v níže uvedených příkladech.

Když vynásobíte víceciferné číslo jiným víceciferným číslem, nastaví se větší počet na tyče v rámu. Zařízení vytvoří mezivýsledek pro násobení každou z číslic menšího čísla. Ty se zapisují a konečný výsledek se počítá perem a papírem.

Abychom předvedli, jak použít Napierovy kosti k množení, jsou níže vysvětleny tři příklady zvyšující se obtížnosti.

Příklad 1 - násobení malým jednociferným číslem

První příklad počítá 425 × 6.

Napierovy kosti pro 4, 2 a 5 jsou umístěny na hrací plochu. Kosti pro větší počet se znásobí. Jako příklad hodnot odvozených z multiplikačních tabulek budou hodnoty sedmé řady 4 kosti² ⁄ ₈, odvozený od 7 × 4 = 28. V níže uvedeném příkladu pro 425 × 6, kosti jsou zobrazeny jako červená, žlutá a modrá.

Sloupec nejvíce vlevo před kteroukoli z kostí by mohl být reprezentován jako 1 kost, která by měla prázdné místo nebo nulu vlevo nahoře oddělenou diagonální čarou, protože 1 × 1 = 01, 1 × 2 = 02, 1 x 3 = 03atd. Je vybráno malé číslo, obvykle 2 až 9, které vynásobí velké číslo. V tomto příkladu je malé číslo vynásobeno 6. Řádek, ve kterém je toto číslo umístěno, je jediný řádek potřebný k provedení zbývajících výpočtů, a proto je kvůli jasnosti obvykle izolován od zbytku desky.

Výpočet lze spustit z obou konců. Hodnoty oddělené svislými čarami se přidají k vytvoření číslic produktů. Poslední číslo nalezené na této vodorovné řadě kostí nebude nikdy vyžadovat přidání, protože je vždy izolováno posledním řádkem. Vždy se nachází na „jednom místě“ produktu. U ostatních číslic se sčítají dvě sousední čísla kostí oddělená svislými čarami. V tomto příkladu existují čtyři číslice, protože existují čtyři skupiny hodnot kostí oddělených řádky. Číslice produktu jdou ve stejném pořadí, v jakém jsou počítány. Kromě poslední (nebo první) číslice budou číslice produktu součtem dvou hodnot převzatých ze dvou různých kostí.

K získání číslic produktu se přidají kostní hodnoty. Třetí číslice produktu ze žlutých a modrých kostí má příslušné hodnoty zelené. Každá částka je zapsána do prostoru níže. Výsledkem součtů zleva doprava je konečná odpověď 2550. Řešení vynásobení 425 číslem 6 je tedy 2550.

Příklad 2 - násobení větším jednociferným číslem

Při vynásobení většími jednomístnými číslicemi je běžné, že po přidání diagonálního sloupce bude výsledkem součtu čísel číslo, které je 10 nebo větší.

Druhý příklad počítá 6785 × 8.

Stejně jako v příkladu 1 jsou na desce umístěny odpovídající kosti největšímu počtu. V tomto příkladu byly kosti 6, 7, 8 a 5 umístěny ve správném pořadí, jak je znázorněno níže.

V prvním sloupci se nachází číslo, kterým se vynásobí největší číslo. V tomto příkladu bylo číslo 8. Pro zbývající výpočty bude použit pouze řádek 8, takže zbytek desky byl kvůli jasnosti při vysvětlování zbývajících kroků vymazán.

Stejně jako dříve se vyhodnocuje každý diagonální sloupec, který začíná na pravé straně. Pokud je součet úhlopříčného sloupce roven 10 nebo větší, musí být „desítkové“ místo tohoto součtu přeneseno a přidáno spolu s čísly v sousedním levém sloupci, jak je ukázáno níže.

Poté, co je každý diagonální sloupec vyhodnocen, jsou vypočítaná čísla čtena zleva doprava, čímž se získá konečná odpověď; v tomto příkladu bylo vyrobeno 54280.

Proto: Řešení vynásobení 6785 číslem 8 je 54280.

Příklad 3 - násobení víceciferným číslem

Třetí příklad počítá 825 × 913.

Odpovídající kosti vedoucímu číslu jsou umístěny na hrací desce. V tomto příkladu byly kosti 8, 2 a 5 umístěny ve správném pořadí, jak je znázorněno níže.

Chcete-li vynásobit víceciferným číslem, zkontroluje se více řádků. V tomto příkladu byly řádky pro 9, 1 a 3 z důvodu přehlednosti odstraněny z desky.

Každý řádek je vyhodnocen samostatně a každý diagonální sloupec je přidán, jak je vysvětleno v předchozích příkladech. Součty se čtou zleva doprava, čímž se vytvářejí čísla potřebná pro další výpočty sčítání dlouhé ruky. V tomto příkladu byl řádek 9, řádek 1 a řádek 3 vyhodnocen samostatně, aby se získaly výsledky uvedené níže.

Počínaje číslicí druhého čísla úplně vpravo, jsou součty umístěny z řad v postupném pořadí, jak je patrné zprava doleva pod sebou, přičemž se pro držák místa používá 0.

   2475   8250 742500

Řádky a držáky míst jsou sečteny, aby poskytly konečnou odpověď.

    2475    8250+ 742500  753225

V tomto příkladu byla konečná vytvořená odpověď 753225. Proto: Řešení vynásobení 825 číslem 913 je 753225.

Divize

Rozdělení se provádí podobným způsobem. Chcete-li rozdělit 46785399 číslem 96431, pruhy dělitele (96431) jsou umístěny na desce, jak je znázorněno na obrázku níže. Pomocí počítadla jsou všechny produkty dělitele od 1 do 9 nalezeny čtením zobrazených čísel. Všimněte si, že dividenda má osm číslic, zatímco dílčí produkty (s výjimkou první) mají všechny šest. Poslední dvě číslice 46785399, konkrétně „99“, jsou tedy dočasně ignorovány, přičemž je ponecháno číslo 467853. Poté bude nalezen největší dílčí součin, který je menší než zkrácená dividenda. V tomto případě 385724. Je třeba označit dvě věci, jak je vidět na obrázku: protože 385724 je v řádku „4“ počítadla, je „4“ označeno dolů jako číslice kvocientu nejvíce vlevo; je také zapsán dílčí součin zarovnaný doleva pod původní dividendou. Tyto dva výrazy jsou odečteny, což ponechává 8212 999. Opakují se stejné kroky: číslo je zkráceno na šest číslic, je vybrán částečný součin bezprostředně menší než zkrácené číslo, číslo řádku je zapsáno jako další číslice kvocientu a dílčí součin se odečte od rozdílu zjištěného při prvním opakování. Proces je znázorněn na obrázku. Cyklus se opakuje, dokud není výsledek odčítání menší než dělitel. Zbývající číslo je zbytek.

V tomto příkladu tedy zůstává kvocient 485 se zbytkem 16364. Proces se zde obvykle zastaví a odpověď používá zlomkovou formu 485+16364/96431.

Pro větší přesnost pokračuje cyklus a vyhledává tolik požadovaných desetinných míst. Za poslední číslicí kvocientu je označena desetinná čárka a ke zbytku, který opouští 163640, je připojena nula. Cyklus pokračuje, pokaždé, když k výsledku po odečtení připojíte nulu.

Extrakce odmocniny

Pro extrakci druhé odmocniny se používá další kost, která se liší od ostatních, protože má tři sloupce. První sloupec má prvních devět čtvercových čísel, druhý má prvních devět sudých čísel a poslední má čísla 1 až 9.

Chcete-li najít druhou odmocninu 46785399, její číslice jsou seskupeny do dvou počínaje zprava, takže to vypadá takto:

46785399

Poznámka: Číslo s lichým počtem číslic, například 85399, by bylo seskupeno jako 085399

Nejprve je vybrána skupina zcela vlevo, v tomto případě 46. Je vybrán největší čtverec na druhé odmocnině menší než 46, což je 36 ze šesté řady. První číslice řešení je 6, protože byla vybrána šestá řada.

Poté je na desce nastaveno číslo ve druhém sloupci ze šesté řady na kosti druhé odmocniny, 12.

Hodnota v prvním sloupci šestého řádku, 36, je odečtena od 46, což ponechává 10.

Další skupina číslic, 78, je přidána vedle 10; to ponechává zbytek 1078.

V této fázi by výpočty desky a mezilehlých nástrojů měly vypadat takto:

        √46 78 53 99    =    6       − 36         10 78

Čísla v každém řádku jsou „přečtena“, ignorují se druhý a třetí sloupec od odmocniny; tyto jsou zaznamenány. (Například šestý řádek se čte jako: ​⁰⁄₆ ​¹⁄₂ ​³⁄₆ → 756).

Podobně jako v předchozím znásobení se čísla čtou zprava doleva a přidávají se diagonální čísla zprava nahoru doleva (6 + 0 = 6; 3 + 2 = 5; 1 + 6 = 7).

Nalezeno největší číslo menší než aktuální zbytek, 1078 (z osmého řádku).

        √46 78 53 99    =    68       − 36         10 78       − 10 24            54

Stejně jako dříve, 8 je připojeno k získání další číslice druhé odmocniny a hodnota osmého řádku 1024 je odečtena od aktuálního zbytku 1078, čímž získá 54. Druhý sloupec osmého řádku na kosti čtverce Načte se 16 a číslo se nastaví na desce následovně.

Aktuální číslo na desce je 12. První číslice 16 se přidá k 12 a druhá číslice 16 se připojí k výsledku. Deska by tedy měla být nastavena na:

12 + 1 = 13 → přidat 6 → 136

Poznámka: Pokud má druhý sloupec odmocniny pouze jednu číslici, připojí se k aktuálnímu číslu na desce.

Výpočet desky a mezilehlých nyní vypadá takto.

        √46 78 53 99    =    68       − 36         10 78       − 10 24            54 53

Opět je nalezen řádek s největší hodnotou menší než aktuální částečný zbytek, 5453. Tentokrát se jedná o třetí řádek s číslem 4089.

        √46 78 53 99    =    683       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64

Další číslice druhé odmocniny je 3. Opakují se stejné kroky jako dříve a od aktuálního zbytku 5453 se odečte 4089, aby se jako další zbytek dostalo 1364. Když je deska znovu uspořádána, druhý sloupec druhé odmocniny je 6, jedna číslice. Takže 6 je připojeno k aktuálnímu číslu na desce, 136, aby na desce zůstalo 1366.

136 → dodatek 6 → 1366

        √46 78 53 99    =    683       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64 99

Proces se znovu opakuje. Nyní je největší hodnota na desce menší než aktuální zbytek, 136499, 123021 z deváté řady.

Pro získání odpovědi často není třeba hledat hodnotu každého řádku. Řádek, který má odpověď, lze uhodnout pohledem na číslo na prvních několika kostech a porovnáním s prvními číslicemi zbytku. Ale diagramy ukazují hodnotu všech řádků, aby to bylo srozumitelné.

9 je připojena k výsledku a 123021 je odečtena od aktuálního zbytku.

        √46 78 53 99    =    6839       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64 99          − 12 30 21             1 34 78

Pokud byly použity všechny číslice a zbyl zbytek, je vyřešena celočíselná část, ale stále je potřeba najít zlomkový bit.

Pokud je celočíselná část vyřešena, aktuální výsledek na druhou (6839² = 46771921) musí být největší dokonalý čtverec menší než 46785899.

Tato myšlenka se později použije k pochopení toho, jak tato technika funguje, ale lze vygenerovat více číslic.

Podobně jako hledání zlomkové části v dlouhé rozdělení, ke zbytku jsou připojeny dvě nuly, aby se získal nový zbytek 1347800. Druhý sloupec deváté řady odmocniny je 18 a aktuální číslo na desce je 1366.

1366 + 1 → 1367 → přidat 8 → 13678

se počítá k nastavení 13678 na desce.

Deska a mezilehlé výpočty nyní vypadají takto.

        √46 78 53 99.00    =    6839.       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64 99          − 12 30 21             1 34 78 00

Devátý řádek s 1231101 je největší hodnota menší než zbytek, takže první číslice zlomkové části druhé odmocniny je 9.

        √46 78 53 99.00    =    6839.9       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64 99          − 12 30 21             1 34 78 00           − 1 23 11 01               11 66 99

Hodnota devátého řádku se odečte od zbytku a přidá se několik dalších nul, aby se získal nový zbytek 11669900. Druhý sloupec v devátém řádku je 18 s 13678 na desce, takže

13678 + 1 → 13679 → dodatek 8 → 136798

se počítá k nastavení 136798 na desce.

        √46 78 53 99.00 00    =    6839.9       − 36         10 78       − 10 24            54 53          − 40 89            13 64 99          − 12 30 21             1 34 78 00           − 1 23 11 01               11 66 99 00

V těchto krocích lze najít tolik potřebných číslic a je-li dosaženo požadované přesnosti. Pokud se zbytek stane nulovým, znamená to, že byla nalezena přesná druhá odmocnina.

Zaokrouhlování nahoru

Po nalezení požadovaného počtu číslic je snadné určit, zda je třeba zaokrouhlit nahoru; tj. změna poslední číslice. Není nutné najít jinou číslici, abychom zjistili, zda je rovna nebo větší než 5. 25 je připojeno ke kořenu a je porovnáno se zbytkem; pokud je menší nebo roven zbytku, pak další číslice bude nejméně pět a je nutné zaokrouhlování nahoru. Ve výše uvedeném příkladu je 6839925 menší než 11669900, takže kořen je třeba zaokrouhlit nahoru na 6840,0.

Chcete-li najít druhou odmocninu čísla, které není celé číslo, řekněme 54782.917, je vše stejné, kromě toho, že číslice vlevo a vpravo od desetinné čárky jsou seskupeny do dvou.

Takže 54782.917 bude seskupeno jako

054782.9170

Druhá odmocnina pak může být nalezena pomocí výše uvedeného procesu.

Diagonální modifikace

Během 19. století byly Napierovy kosti transformovány, aby byly lépe čitelné. Tyče byly vyrobeny pod úhlem asi 65 °, takže trojúhelníky, které musely být přidány, byly vyrovnány svisle. V tomto případě je v každém čtverci tyče jednotka vpravo a deset (nebo nula) vlevo.

Tyče byly vyrobeny tak, aby vertikální a horizontální čáry byly viditelnější než čára, kde se tyče dotýkaly, což usnadnilo čtení dvou složek každé číslice výsledku. Na obrázku je tedy okamžitě jasné, že:

987654321 × 5 = 4938271605

Vládci Genaille – Lucas

V roce 1891 Henri Genaille vynalezl variantu Napierových kostí, která se stala známou jako Vládci Genaille – Lucas. Tím, že zastupuje nést graficky lze výsledky jednoduchých problémů s násobením číst přímo, bez mezilehlých mentálních výpočtů.

Následující příklad vypočítá 52749 × 4 = 210996.

Viz také

• Vládci Genaille – Lucas
• Pascalova kalkulačka
• Pravidlo snímku

Reference

externí odkazy

• Java implementace Napierových kostí v různých číselných systémech na cut-the-uzel
• Napier a další kosti a mnoho kalkulaček
• Jak Napierovy kosti fungují (interaktivní simulátor)