Multiplikativní oddíl - Multiplicative partition
v teorie čísel, a multiplikativní oddíl nebo neuspořádaná faktorizace celého čísla n je způsob psaní n jako produkt celých čísel větších než 1, zacházení se dvěma produkty jako s ekvivalentními, pokud se liší pouze v pořadí faktorů. Číslo n je sám považován za jeden z těchto produktů. Multiplikativní oddíly úzce paralelně studují vícedílné oddíly, diskutováno v Andrews (1976), které jsou aditivní oddíly konečných sekvencí kladných celých čísel s provedeným sčítáním bodově. Přestože studium multiplikativních oddílů probíhá nejméně od roku 1923, název „multiplikativní oddíl“ se zdá být zaveden Hughes & Shallit (1983). Latinský název „factorisatio numerorum“ byl použit již dříve. MathWorld používá termín neuspořádaná faktorizace.
Příklady
- Číslo 20 má čtyři multiplikativní oddíly: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 a 20.
- 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 a 81 je pět multiplikativních oddílů 81 = 34. Protože je to čtvrtá síla a primární, 81 má stejný počet (pět) multiplikativních oddílů jako 4 aditivní oddíly.
- Číslo 30 má pět multiplikativních oddílů: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.
- Obecně platí, že počet multiplikativních oddílů a bez čtverce číslo s i Prvotní faktory jsou i-té Bell číslo, Bi.
aplikace
Hughes & Shallit (1983) popsat aplikaci multiplikativních oddílů při klasifikaci celých čísel s daným počtem dělitelů. Například celá čísla s přesně 12 děliteli mají podobu p11, p×q5, p2×q3, a p×q×r2, kde p, q, a r jsou odlišné prvočísla; tyto formy odpovídají multiplikativním oddílům 12, 2 × 6, 3 × 4 a 2 × 2 × 3. Obecněji pro každý multiplikativní oddíl
celého čísla k, odpovídá třídě celých čísel, která má přesně k dělitele formy
kde každý pi je zřetelný vrchol. Tato korespondence vyplývá z multiplikativní majetek funkce dělitele.
Hranice počtu oddílů
Oppenheim (1926) úvěry McMahon (1923) s problémem počítání počtu multiplikativních oddílů n; tento problém byl od té doby studován jinými pod latinským názvem factorisatio numerorum. Pokud je počet multiplikativních oddílů n je An, McMahon a Oppenheim to zjistili Dirichletova řada generující funkce F(s) má zastoupení produktu
Pořadí čísel An začíná
Oppenheim také požadoval horní hranici dne An, formuláře
ale jako Canfield, Erdős & Pomerance (1983) tato vazba je chybná a skutečná je
Obě tyto hranice nejsou zdaleka lineární n: mají formu n1 − o (1)Typická hodnota An je mnohem menší: průměrná hodnota An, v průměru za interval X ≤ n ≤ X+N, je
vázaný, který má formu no (1) (Luca, Mukhopadhyay & Srinivas 2008 ).
Další výsledky
Canfield, Erdős & Pomerance (1983) pozorovat, a Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) dokázat, že většina čísel nemůže vzniknout jako číslo An multiplikativních oddílů některých n: počet hodnot menší než N které vznikají tímto způsobem je NO (log log logN / log logN). Dodatečně, Luca, Mukhopadhyay & Srinivas (2008) ukazují, že většina hodnot n nejsou násobky An: počet hodnot n ≤ N takhle An rozděluje n je O (N / log1 + o (1) N).
Viz také
Reference
- Andrews, G. (1976), Teorie oddílů, Addison-Wesley, kapitola 12.
- Canfield, E. R .; Erdős, Paul; Pomerance, Carle (1983), „O problému Oppenheima týkajícím se“ factorisatio numerorum"", Žurnál teorie čísel, 17 (1): 1–28, doi:10.1016 / 0022-314X (83) 90002-1.
- Hughes, John F .; Shallit, Jeffrey (1983), „O počtu multiplikativních oddílů“, Americký matematický měsíčník, 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729, JSTOR 2975729.
- Knopfmacher, A .; Mays, M. (2006), „Objednané a neuspořádané faktorizace celých čísel“, Mathematica Journal, 10: 72–89. Jak uvádí MathWorld.
- Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), Na funkci „factorisatio numerorum“ společnosti Oppenheim, arXiv:0807.0986, Bibcode:2008arXiv0807.0986L.
- MacMahon, P. A. (1923), "Dirichletova řada a teorie oddílů", Proceedings of the London Mathematical Society, 22: 404–411, doi:10.1112 / plms / s2-22.1.404.
- Oppenheim, A. (1926), "Na aritmetické funkci", Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 205–211, doi:10.1112 / jlms / s1-1.4.205.
Další čtení
- Knopfmacher, A .; Mays, M. E. (2005), „Průzkum funkcí počítání faktorizace“ (PDF), International Journal of Number Theory, 1 (4): 563–581, doi:10.1142 / S1793042105000315