Funkce více gama - Multiple gamma function

V matematice je funkce více gama ${ displaystyle Gamma _ {N}}$ je zobecněním Euler funkce gama a Barnesova funkce G.. Funkce dvojitého gama byla studována uživatelem Barnes (1901). Na konci tohoto článku se zmínil o existenci několika gama funkcí, které jej zobecňují, a dále je studoval v Barnes (1904).

Funkce dvojnásobné gama ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ jsou úzce spjaty s funkce q-gama a trojnásobné funkce gama ${ displaystyle Gamma _ {3}}$ souvisí s eliptická gama funkce.

Definice

Pro ${ displaystyle Re a_ {i}> 0}$, nechť

${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) = exp left ( left. { frac { částečné} { částečné s}} zeta _ {N} (s, w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) right | _ {s = 0} right) ,}$

kde ${ displaystyle zeta _ {N}}$ je Funkce Barnes zeta. (To se liší konstantou od Barnesovy původní definice.)

Vlastnosti

Považováno za meromorfní funkce z ${ displaystyle w}$, ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N})}$ nemá nuly. Má póly ${ displaystyle w = - součet _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} a_ {i}}$pro nezáporná celá čísla ${ displaystyle n_ {i}}$. Tyto póly jsou jednoduché, pokud se některé neshodují. Až do násobení exponenciálem polynomu, ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N})}$ je jedinečná meromorfní funkce konečného řádu s těmito nulami a póly.

• ${ displaystyle Gamma _ {0} (w mid) = { frac {1} {w}} ,}$
• ${ displaystyle Gamma _ {1} (w mid a) = { frac {a ^ {a ^ {- 1} w - { frac {1} {2}}}}} { sqrt {2 pi }}} Gamma vlevo (a ^ {- 1} w vpravo) ,}$
• ${ displaystyle Gamma _ {N} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) = Gamma _ {N-1} (w mid a_ {1}, ldots, a_ {N -1}) Gamma _ {N} (w + a_ {N} mid a_ {1}, ldots, a_ {N}) .}$

Nekonečné zastoupení produktu

Funkce vícenásobného gama má nekonečné zastoupení produktu, díky kterému je zřejmé, že je meromorfní, a díky tomu se také projevují polohy jeho pólů. V případě funkce dvojitého gama je toto znázornění ^[1]

${ displaystyle Gamma _ {2} (w mid a_ {1}, a_ {2}) = { frac {e ^ { lambda _ {1} w + lambda _ {2} w ^ {2}} } {w}} prod _ { begin {array} {c} (n_ {1}, n_ {2}) in mathbb {N} ^ {2} (n_ {1}, n_ {2 }) neq (0,0) end {pole}} { frac {e ^ {{ frac {w} {n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}}} - { frac {1} {2}} { frac {w ^ {2}} {(n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}) ^ {2}}}}} {1+ { frac {w} {n_ {1} a_ {1} + n_ {2} a_ {2}}}}} ,}$

kde definujeme ${ displaystyle w}$-nezávislé koeficienty

${ displaystyle lambda _ {1} = - { underset {s = 1} { operatorname {Res} _ {0}}} zeta _ {2} (s, 0 mid a_ {1}, a_ { 2}) ,}$

${ displaystyle lambda _ {2} = { frac {1} {2}} { podmnožina {s = 2} { operatorname {Res} _ {0}}} zeta _ {2} (s, 0 mid a_ {1}, a_ {2}) + { frac {1} {2}} { podmnožina {s = 2} { operatorname {Res} _ {1}}} zeta _ {2} ( s, 0 uprostřed a_ {1}, a_ {2}) ,}$

kde ${ displaystyle { underset {s = s_ {0}} { operatorname {Res} _ {n}}} f (s) = { frac {1} {2 pi i}} mast _ {s_ { 0}} (s-s_ {0}) ^ {n-1} f (s) , ds}$ je ${ displaystyle n}$-zbytku pořadí v ${ displaystyle s_ {0}}$.

Redukce na Barnesovu funkci G.

Funkce dvojitého gama s parametry ${ displaystyle 1,1}$ poslouchá vztahy ^[1]

${ displaystyle Gamma _ {2} (w + 1 | 1,1) = { frac { sqrt {2 pi}} { Gamma (w)}} Gamma _ {2} (w | 1, 1) quad, quad Gamma _ {2} (1 | 1,1) = { sqrt {2 pi}} .}$

Souvisí to s Barnesova funkce G. podle

${ displaystyle Gamma _ {2} (w | 1,1) = { frac {(2 pi) ^ { frac {w} {2}}} {G (w)}} .}$

Funkce dvojité gama a teorie konformního pole

Pro ${ displaystyle Re b> 0}$ a ${ displaystyle Q = b + b ^ {- 1}}$, funkce

${ displaystyle Gamma _ {b} (w) = { frac { Gamma _ {2} (w mid b, b ^ {- 1})} { Gamma _ {2} left ({ frac {Q} {2}} mid b, b ^ {- 1} right)}} ,}$

je neměnný pod ${ displaystyle b až b ^ {- 1}}$a řídí se vztahy

${ displaystyle Gamma _ {b} (w + b) = { sqrt {2 pi}} { frac {b ^ {bw - { frac {1} {2}}}} { Gamma (bw )}} Gamma _ {b} (w) quad, quad Gamma _ {b} (w + b ^ {- 1}) = { sqrt {2 pi}} { frac {b ^ { -b ^ {- 1} w + { frac {1} {2}}}} { Gamma (b ^ {- 1} w)}} Gamma _ {b} (w) .}$

Pro ${ displaystyle Re w> 0}$, má integrální zastoupení

${ displaystyle log Gamma _ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [{ frac {e ^ {- wt} - e ^ {- { frac {Q} {2}} t}} {(1-e ^ {- bt}) (1-e ^ {- b ^ {- 1} t})}} - { frac { left ({ frac {Q} {2}} - w right) ^ {2}} {2}} e ^ {- t} - { frac {{ frac {Q} {2}} - w} {t}} doprava] .}$

Z funkce ${ displaystyle Gamma _ {b} (w)}$, definujeme funkce dvojitého sinu ${ displaystyle S_ {b} (w)}$ a Funkce Upsilon ${ displaystyle Upsilon _ {b} (w)}$ podle

${ displaystyle S_ {b} (w) = { frac { Gamma _ {b} (w)} { Gamma _ {b} (Qw)}} quad, quad Upsilon _ {b} (w ) = { frac {1} { Gamma _ {b} (w) Gamma _ {b} (Qw)}} .}$

Tyto funkce se řídí vztahy

${ displaystyle S_ {b} (w + b) = 2 sin ( pi bw) S_ {b} (w) quad, quad Upsilon _ {b} (w + b) = { frac { Gamma (bw)} { Gamma (1-bw)}} b ^ {1-2bw} Upsilon _ {b} (w) ,}$

plus vztahy, které jsou získány ${ displaystyle b až b ^ {- 1}}$. Pro ${ displaystyle 0 < Re w < Re Q}$ mají integrální reprezentace

${ displaystyle log S_ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [{ frac { sinh left ({ frac { Q} {2}} - w right) t} {2 sinh left ({ frac {1} {2}} bt right) sinh left ({ frac {1} {2}} b ^ {- 1} t right)}} - { frac {Q-2w} {t}} right] ,}$

${ displaystyle log Upsilon _ {b} (w) = int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {t}} left [ left ({ frac {Q} {2 }} - w right) ^ {2} e ^ {- t} - { frac { sinh ^ {2} { frac {1} {2}} left ({ frac {Q} {2} } -w right) t} { sinh left ({ frac {1} {2}} bt right) sinh left ({ frac {1} {2}} b ^ {- 1} t dobře dobře] .}$

Funkce ${ displaystyle Gamma _ {b}, S_ {b}}$ a ${ displaystyle Upsilon _ {b}}$ se objevují v korelačních funkcích teorie dvourozměrného konformního pole, s parametrem ${ displaystyle b}$ souvisí s centrálním nábojem podkladového aktiva Virasoro algebra.^[2] Zejména tříbodová funkce Liouvilleova teorie je napsán z hlediska funkce ${ displaystyle Upsilon _ {b}}$.

Reference

Další čtení

• Barnes, E. W. (1899), „Genesis funkcí dvojitého gama“, Proc. London Math. Soc., s1-31: 358–381, doi:10.1112 / plms / s1-31.1.358
• Barnes, E. W. (1899), „Teorie funkce dvojitého gama“, Sborník královské společnosti v Londýně, 66 (424–433): 265–268, doi:10.1098 / rspl.1899.0101, ISSN  0370-1662, JSTOR  116064, S2CID  186213903
• Barnes, E. W. (1901), „Teorie funkce dvojitého gama“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Série A, obsahující články matematického nebo fyzického charakteru, 196 (274–286): 265–387, Bibcode:1901RSPTA.196..265B, doi:10.1098 / rsta.1901.0006, ISSN  0264-3952, JSTOR  90809
• Barnes, E. W. (1904), „K teorii vícenásobné funkce gama“, Trans. Camb. Philos. Soc., 19: 374–425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), „Shintani – Barnes zeta and gamma functions“, Pokroky v matematice, 187 (2): 362–395, doi:10.1016 / j.aim.2003.07.020, ISSN  0001-8708, PAN  2078341
• Ruijsenaars, S.N.M. (2000), „O Barnesových několika funkcích zeta a gama“, Pokroky v matematice, 156 (1): 107–132, doi:10.1006 / aima.2000.1946, ISSN  0001-8708, PAN  1800255