Vícedílné zapletení - Multipartite entanglement

V případě systémů složených z ${ displaystyle m> 2}$ subsystémy, klasifikace kvantově zapletený státy je bohatší než v případě bipartity. Opravdu, v vícedílné zapletení kromě úplně oddělitelné stavy a plně zapletené státy, existuje také pojem částečně oddělitelných států.^[1]

Plná a částečná oddělitelnost

Definice plně oddělitelných a plně zapletených multipartitních stavů přirozeně zobecňuje definici oddělitelných a zapletených stavů v případě bipartity, jak je uvedeno dále.^[1]

Definice [Plná ${ displaystyle ; m}$- oddělitelná část (${ displaystyle ; m}$- oddělitelnost) ${ displaystyle ; m}$ systémy]: Stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ z ${ displaystyle ; m}$ subsystémy ${ displaystyle ; A_ {1}, ldots, A_ {m}}$ s Hilbertovým prostorem ${ displaystyle ; { mathcal {H}} _ {A_ {1} ldots A_ {m}} = { mathcal {H}} _ {A_ {1}} otimes ldots otimes { mathcal { Šunka}}}$ je plně oddělitelné pouze a jen v případě, že to lze zapsat do formuláře

${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} = součet _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} varrho _ {A_ {1}} ^ {i} otimes ldots otimes varrho _ {A_ {m}} ^ {i}.}$

Odpovídajícím způsobem stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je plně zapletený pokud to nelze zapsat výše uvedeným formulářem.

Stejně jako v případě bipartity, soubor ${ displaystyle ; m}$-oddělitelné stavy je konvexní a Zavřeno s ohledem na stopovou normu a oddělitelnost je zachována pod ${ displaystyle ; m}$-oddělitelné operace ${ displaystyle ; sum _ {i} Omega _ {i} ^ {1} otimes ldots otimes Omega _ {i} ^ {n}}$ které jsou přímým zevšeobecněním bipartitních:

${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} až { frac { sum _ {i} Omega _ {i} ^ {1} otimes ldots otimes Omega _ {i} ^ {n} varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} ( Omega _ {i} ^ {1} otimes ldots otimes Omega _ {i} ^ {n} ) ^ { dagger}} {Tr [ sum _ {i} Omega _ {i} ^ {1} otimes ldots otimes Omega _ {i} ^ {n} varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} ( Omega _ {i} ^ {1} otimes ldots otimes Omega _ {i} ^ {n}) ^ { dagger}]}}}}$^[1]

Jak již bylo zmíněno výše, v multipartitním prostředí máme také různé pojmy částečná oddělitelnost.^[1]

Definice [oddělitelnost s ohledem na oddíly]: Stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ z ${ displaystyle ; m}$ subsystémy ${ displaystyle ; A_ {1}, ldots, A_ {m}}$ je oddělitelné s ohledem na daný oddíl ${ displaystyle ; {I_ {1}, ldots, I_ {k} }}$, kde ${ displaystyle ; I_ {i}}$ jsou disjunktní podmnožiny indexů ${ displaystyle ; I = {1, ldots, m }, cup _ {j = 1} ^ {k} I_ {j} = I}$, pouze a jen v případě, že je to možné napsat

${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} = součet _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} varrho _ {1} ^ {i} otimes ldots otimes varrho _ {k} ^ {i}.}$^[1]

Definice [semiseparability]: Stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je polořadovka oddělitelná právě když je oddělitelné pod všemi ${ displaystyle ; 1}$-${ displaystyle ; (m-1)}$ oddíly, ${ displaystyle ; { big {} I_ {1} = {k }, I_ {2} = {1, ldots, k-1, k + 1, ldots, m } { velký }}, 1 leq k leq m}$.^[1]

Definice [zapletení s-částic]: An ${ displaystyle ; m}$-částicový systém může mít maximálně ${ displaystyle ; s}$- zapletení částic pokud se jedná o směs všech stavů tak, že každý z nich je oddělitelný vzhledem k nějakému oddílu ${ displaystyle ; {I_ {1}, ldots, I_ {k} }}$, kde jsou všechny sady indexů ${ displaystyle ; I_ {k}}$ mít mohutnost ${ displaystyle ; N leq s}$.^[1]

Charakterizace a kritéria oddělitelnosti

Čisté stavy

Definice ekvivalentní plné oddělitelnosti m-partitů je uvedena následovně: Čistý stav ${ displaystyle | Psi _ {A_ {1} ldots A_ {m}} rangle}$ z ${ displaystyle ; m}$ subsystémy ${ displaystyle ; A_ {1}, ldots, A_ {m}}$ je plně ${ displaystyle ; m}$-partitabilní jen a jen v případě, že to lze napsat

${ displaystyle ; | Psi _ {A_ {1} ldots A_ {m}} rangle = | psi _ {A_ {1}} rangle otimes ldots otimes | psi _ {A_ {m }} rangle.}$^[1]

Aby to bylo možné zkontrolovat, stačí vypočítat matice se sníženou hustotou elementárních subsystémů a zjistit, zda jsou čisté. To však v multipartitním případě nelze provést tak snadno, protože jen zřídka multipartitní čisté státy připouštějí zobecněný Schmidtův rozklad ${ displaystyle ; | Psi _ {A_ {1} ldots A_ {m}} rangle = sum _ {i = 1} ^ {min {d_ {A_ {1}}, ldots, d_ { A_ {m}} }} a_ {i} | e_ {A_ {1}} ^ {i} rangle otimes ldots otimes | e_ {A_ {m}} ^ {i} rangle}$. Vícedílný stav připouští zobecněný Schmidtův rozklad, pokud je při sledování jakéhokoli subsystému zbytek v plně oddělitelném stavu. Obecně je tedy zapletení čistého stavu popsáno spektry matic se sníženou hustotou všech bipartitních oddílů: stav je skutečně ${ displaystyle ; m}$- částečné zapletení právě když všechny bipartitní oddíly vytvářejí smíšené matice se sníženou hustotou.^[1]

Smíšené státy

V případě vícedílného případu neexistuje žádná jednoduchá nezbytná a dostatečná podmínka oddělitelnosti, jako je podmínka daná Kritérium PPT pro ${ displaystyle 2 otimes 2}$ a ${ displaystyle 2 otimes 3}$ případech. Mnozí však kritéria oddělitelnosti použité v bipartitním nastavení lze zobecnit na vícedílný případ.^[1]

Pozitivní, ale ne zcela pozitivní (PnCP) mapy a zapletení svědků

Charakterizace oddělitelnosti z hlediska pozitivní, ale ne zcela pozitivní mapy lze přirozeně zobecnit z bipartitního případu následovně.^[1]

Jakákoli pozitivní, ale ne zcela pozitivní (PnCP) mapa ${ displaystyle ; Lambda _ {A_ {2} ldots A_ {m}}: { mathcal {B}} ({ mathcal {H}} _ {A_ {2} ldots A_ {m}}) to { mathcal {B}} ({ mathcal {H}} _ {A_ {1}})}$ poskytuje netriviální nutné kritérium oddělitelnosti ve formě:

${ displaystyle ; (I_ {A_ {1}} otimes Lambda _ {A_ {2} ldots A_ {m}}) [ varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}] geq 0,}$

kde ${ displaystyle ; I_ {A_ {1}}}$ je identita působící na první subsystém ${ displaystyle ; { mathcal {H}} _ {A_ {1}}}$.Stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je oddělitelný právě když je výše uvedená podmínka splněna pro všechny mapy PnCP ${ displaystyle ; Lambda _ {A_ {2} ldots A_ {m}}: { mathcal {B}} ({ mathcal {H}} _ {A_ {2} ldots A_ {m}}) to { mathcal {B}} ({ mathcal {H}} _ {A_ {1}})}$.^[1]

Definice zapletení svědci a Choi – Jamiołkowski izomorfismus který spojuje mapy PnCP se zapletenými svědky v bipartitním případě, lze také zobecnit na multipartitní nastavení. Dostáváme tedy podmínku oddělitelnosti od zapletených svědků pro multipartitní stavy: stav ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je oddělitelné, pokud má nezápornou střední hodnotu ${ displaystyle ; Tr (W varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}) geq 0}$ pro všechny svědky zapletení ${ displaystyle W}$. Odpovídajícím způsobem zapletení ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je detekován svědkem ${ displaystyle ; W}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle ; Tr (W varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}) <0}$.^[1]

Výše uvedený popis poskytuje úplnou charakteristiku ${ displaystyle ; m}$-oddělitelnost ${ displaystyle ; m}$-partitové systémy.^[1]

Kritérium rozsahu

„Kritérium rozsahu“ lze také okamžitě zobecnit z bipartitního na vícedílný případ. V druhém případě rozsah ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ musí být překlenuty vektory ${ displaystyle ; {| phi _ {A_ {1}} rangle, ldots, | phi _ {A_ {m}} rangle }}$, zatímco rozsah ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} ^ {T_ {A_ {k_ {1}} ldots A_ {k_ {l}}}}}$ částečně provedeno s ohledem na podmnožinu ${ displaystyle ; {A_ {k_ {1}} ldots A_ {k_ {l}} } podmnožina {A_ {1} ldots A_ {m} }}$ musí být překlenuty produkty těchto vektorů, kde jsou ty s indexy ${ displaystyle ; k_ {1}, ldots, k_ {l}}$ jsou komplexně konjugované. Pokud stát ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je oddělitelný, pak všechny takové částečné transpozice musí vést k maticím s nezáporným spektrem, tj. ke všem maticím ${ displaystyle ; varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}} ^ {T_ {A_ {k_ {1}} ldots A_ {k_ {l}}}}}$ by měly být samotné státy.^[1]

Kritéria přeladění

„Kritéria pro zarovnání“ z bipartitního případu jsou zobecněna na permutační kritéria v multipartitním nastavení: pokud je stav ${ displaystyle varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}}}$ je oddělitelný, pak matice ${ displaystyle ; [R _ { pi} ( varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}})] _ {i_ {1} j_ {1}, i_ {2} j_ {2}, ldots, i_ {n} j_ {n}} equiv varrho _ { pi (i_ {1} j_ {1}, i_ {2} j_ {2}, ldots, i_ {n} j_ {n}) }}$, získané z původního stavu permutací ${ displaystyle ; pi}$ maticových indexů v produktové bázi, vyhovuje ${ displaystyle ; || R _ { pi} ( varrho _ {A_ {1} ldots A_ {m}})] || _ {Tr} leq 1}$.^[1]

Kritérium kontrakce

Nakonec kritérium kontrakce zobecňuje okamžitě z bipartitního na vícedílný případ.^[1]

Opatření pro vícedílné zapletení

Mnoho z opatření axiomatického zapletení pro bipartitní státy, jako např relativní entropie zapletení, robustnost zapletení a zmáčknuté zapletení lze zobecnit na multipartitní nastavení.^[1]

Relativní entropii zapletení lze například zobecnit na vícedílný případ převzetím vhodné množiny místo množiny bipartitních oddělitelných stavů. Lze vzít sadu plně oddělitelných stavů, i když s touto volbou nebude opatření rozlišovat mezi skutečně vícestranným zapletením a několika případy bipartitního zapletení, jako například ${ displaystyle EPR_ {AB} často EPR_ {CD}}$. Aby bylo možné analyzovat skutečně vícestranné zapletení, je třeba vzít v úvahu množinu stavů, které neobsahují více než ${ displaystyle k}$- zapletení částic.^[1]

V případě zamotaného zapletení lze jeho multipartitní verzi získat jednoduchou výměnou vzájemné informace bipartitního systému s jeho zobecněním pro multipartitní systémy, tj. ${ displaystyle I (A_ {1}: ldots: A_ {N}) = S (A_ {1}) + ldots + S (A_ {N}) - S (A_ {1} ldots A_ {N} )}$.^[1]

V multipartitním nastavení je však k popisu zapletení států potřeba mnohem více parametrů, a proto bylo vytvořeno mnoho nových opatření zapletení, zejména pro čisté multipartitní stavy.

Míry zapletení více částí pro čisté stavy

V multipartitním nastavení existují míry zapletení, které jsou jednoduše funkcemi součtů bipartitních míry zapletení, jako například globální zapletení, která je dána součtem souběhy mezi jedním qubit a všichni ostatní. U těchto vícedílných zapletení měří „monotónnost pod LOCC je jednoduše zděděno z bipartitních opatření. Existují však také opatření zapletení, která byla vytvořena speciálně pro vícedílné státy, jako jsou následující:^[1]

Spleť

Coffman představil první opatření pro vícenásobné zapletení, které není ani přímým zobecněním, ani snadnou kombinací bipartitních opatření et al. a zavolal spleť.^[1]

Definice [tangle]:

${ displaystyle ; tau (A: B: C) = tau (A: BC) - tau (AB) - tau (AC),}$

Kde ${ displaystyle ; 2}$-tangles na pravé straně jsou čtverce souběh.^[1]

Míra zamotání je permutačně neměnná; zmizí na všech státech, které lze oddělit při jakémkoli řezu; je nenulová, například ve stavu GHZ; lze ji považovat za nulovou pro státy, které jsou 3-zapletené (tj. které nejsou produktem vzhledem k jakémukoli řezu), například Stav W. Kromě toho by mohla existovat možnost dosáhnout dobrého zobecnění spleť pro multiqubitové systémy pomocí hyperdeterminant.^[1]

Schmidtovo opatření

To bylo jedno z prvních opatření zapletení vytvořených speciálně pro vícedílné státy.^[1]

Definice [Schmidtovo opatření]: Minimum ${ displaystyle ; log r}$, kde ${ displaystyle ; r}$ je počet termínů v expanzi státu v produktové bázi.^[1]

Toto měřítko je nulové právě tehdy, pokud je stát plně produktivní; proto nemůže rozlišovat mezi skutečně multipartitním zapletením a bipartitním zapletením, ale přesto může být užitečný v mnoha kontextech.^[1]

Opatření založená na běžných formách

Jedná se o zajímavou třídu vícestranných opatření zapletení získaných v kontextu klasifikace států. Jmenovitě se uvažuje o jakékoli homogenní funkci státu: pokud je invariantní v rámci operací SLOCC (stochastická LOCC) s determinantem rovným 1, pak jde o zapletení monotónní v silném smyslu, tj. splňuje podmínku silné monotónnosti.^[1]

Opatření založená na hyperdeterminantu

Miyake to dokázal hyperdeterminanty jsou zapletené monotóny a popisují skutečně vícestranné zapletení ve smyslu, který uvádí například produkty ${ displaystyle EPR}$mají nulové zapletení. Zvláště souběh a zamotání jsou speciální případy hyperdeterminantu. Ve skutečnosti je souběh dvou qubitů jednoduše modulem determinantu, což je hyperdeterminant prvního řádu; zatímco spleť je hyperdeterminant druhého řádu, tj. funkce tenzorů se třemi indexy.^[1]

Geometrické zapletení

Definice [geometrické zapletení]:

${ displaystyle ; E_ {g} = 1- Lambda ^ {k} [ psi],}$

kde ${ displaystyle ; Lambda ^ {k} [ psi] = sup _ { phi v S_ {k}} | langle psi | phi rangle | ^ {2}}$, s ${ displaystyle ; S_ {k}}$ soubor ${ displaystyle ; k}$-oddělitelné stavy. Toto opatření patří do rodiny zapletených opatření definovaných Barnumem a Lindenem a je to vícedílné zobecnění Shimony opatření.^[1]

Zapletení lze kvantifikovat pomocí a geometrická míra zapletení.

Lokalizovatelné zapletení

Toto opatření zapletení je zevšeobecněním zapletení pomoci a byla zkonstruována v kontextu spinových řetězců. Jeden konkrétně zvolí dvě otočení a provede operace LOCC, jejichž cílem je získat mezi nimi největší možné bipartitní zapletení (měřeno podle zvolené míry zapletení pro dva bipartitní stavy).^[1]

Zdroje a poznámky

Další čtení

• Horodecki, R. (1994). "Informačně koherentní kvantové systémy". Fyzikální písmena A. 187 (2): 145. Bibcode:1994PhLA..187..145H. doi:10.1016/0375-9601(94)90052-3.
• Coffman, V .; Kundu, Joydip; Wootters, William K. (2000). "Distribuované zapletení". Fyzický přehled A. 61 (5): 052306. arXiv:quant-ph / 9907047. Bibcode:2000PhRvA..61e2306C. doi:10.1103 / PhysRevA.61.052306.
• Barnum, H .; Linden, N. (2001). "Monotóny a invarianty pro kvantové stavy více částic". Journal of Physics A. 34 (35): 6787. arXiv:quant-ph / 0103155. Bibcode:2001JPhA ... 34.6787B. doi:10.1088/0305-4470/34/35/305.
• Bourennane, M .; Karlsson, A .; Björk, G. (2001). "Kvantová distribuce klíčů pomocí víceúrovňového kódování". Fyzický přehled A. 64 (2): 022306. Bibcode:2001PhRvA..64a2306B. doi:10.1103 / PhysRevA.64.012306.
• Meyer, D. A .; Wallach, N. R. (2001). "Globální zapletení do systémů s více částmi". Journal of Mathematical Physics. 43: 4273–4278. arXiv:quant-ph / 0108104. Bibcode:2002JMP .... 43,4273M. doi:10.1063/1.1497700.
• Miyake, A. (2003). "Klasifikace vícedílných zapletených stavů vícerozměrnými determinanty". Fyzický přehled A. 67 (1): 012108. arXiv:quant-ph / 0206111. Bibcode:2003PhRvA..67a2108M. doi:10.1103 / PhysRevA.67.012108.
• Verstraete, F .; Dehaene, J .; De Moor, B. (2003). "Normální formy a míry zapletení pro multipartitní kvantové stavy". Fyzický přehled A. 68 (1): 012103. arXiv:quant-ph / 0105090. Bibcode:2003PhRvA..68a2103V. doi:10.1103 / PhysRevA.68.012103.
• Boileau, J.-C .; Gottesman, D .; Laflamme, R .; Poulin, D .; Spekkens, R. (2004). „Robustní distribuce kvantových klíčů založená na polarizaci přes kanál kolektivního šumu“. Dopisy o fyzické kontrole. 92 (2): 027901. arXiv:quant-ph / 0306199. Bibcode:2004PhRvL..92a7901B. doi:10.1103 / PhysRevLett.92.017901. PMID  14754020.
• Miyake, A. (2004). "Vícedílné zapletení v rámci stochastických místních operací a klasické komunikace". Mezinárodní žurnál kvantových informací. 2: 65. arXiv:quant-ph / 0401023. Bibcode:2004quant.ph..1023M. doi:10,1142 / s0219749904000080.
• Horodecki, R .; Horodecki, P .; Horodecki, M .; Horodecki, K. (2009). "Kvantové zapletení". Recenze moderní fyziky. 81 (2): 865–942. arXiv:quant-ph / 0702225. Bibcode:2009RvMP ... 81..865H. doi:10.1103 / RevModPhys.81.865.
• Gühne, O .; Tóth, G. (2009). Msgstr "Detekce zapletení". Fyzikální zprávy. 474: 1–75. arXiv:0811.2803. Bibcode:2009PhR ... 474 ... 1G. doi:10.1016 / j.physrep.2009.02.004.