Zmáčknuté zapletení - Squashed entanglement

Zmáčknuté zapletení, také zvaný Zapletení CMI (CMI lze vyslovit „see me“), je informační teoretická míra Kvantové zapletení pro bipartitní kvantový systém. Li ${displaystyle varrho _ {A, B}}$ je matice hustoty systému ${displaystyle (A, B)}$ složený ze dvou subsystémů ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$, pak zapletení CMI ${displaystyle E_ {CMI}}$ systému ${displaystyle (A, B)}$ je definováno

${displaystyle E_ {CMI} (varrho _ {A, B}) = {frac {1} {2}} min _ {varrho _ {A, B, Lambda} v K} S (A: B | Lambda)}$,

Rovnice (1)

kde ${displaystyle K}$ je sada všech matic hustoty ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ pro trojstranný systém ${displaystyle (A, B, Lambda)}$ takhle ${displaystyle varrho _ {A, B} = tr_ {Lambda} (varrho _ {A, B, Lambda})}$. Zapletení CMI je tedy definováno jako extrém a funkční ${displaystyle S (A: B | Lambda)}$ z ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$. Definujeme ${displaystyle S (A: B | Lambda)}$, kvantum Podmíněné vzájemné informace (CMI)níže. Obecnější verze rovnice (1) nahrazuje `` min '' (minimum) v rovnici (1) za `` inf '' (infimum ). Když ${displaystyle varrho _ {A, B}}$ je čistý stav, ${displaystyle E_ {CMI} (varrho _ {A, B}) = S (varrho _ {A}) = S (varrho _ {B})}$, v souladu s definicí zapletení formace pro čisté státy. Tady ${displaystyle S (varrho)}$ je Von Neumannova entropie matice hustoty ${displaystyle varrho}$.

Motivace pro definici zapletení CMI

Zapletení CMI má své kořeny klasická (nekvantová) teorie informací, jak vysvětlíme dále.

Vzhledem k jakýmkoli dvěma náhodné proměnné ${displaystyle A, B}$, klasická teorie informací definuje vzájemné informace, míra korelací, as

${displaystyle H (A: B) = H (A) + H (B) -H (A, B),}$.

Rovnice (2)

Pro tři náhodné proměnné ${displaystyle A, B, Lambda}$, definuje CMI jako

${displaystyle {egin {matrix} H (A: B | Lambda) & = & H (A | Lambda) + H (B | Lambda) -H (A, B | Lambda) & = & H (A, Lambda) + H (B, Lambda) -H (Lambda) -H (A, B, Lambda) konec {matice}}}$.

Rovnice (3)

To lze ukázat ${displaystyle H (A: B | Lambda) geq 0}$.

Nyní předpokládejme ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ je matice hustoty pro trojstranný systém ${displaystyle (A, B, Lambda)}$. Budeme zastupovat částečná stopa z ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ pokud jde o jeden nebo dva jeho subsystémy, ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ se symbolem pro vysledovaný systém vymazán. Například, ${displaystyle varrho _ {A, B} = tr_ {Lambda} (varrho _ {A, B, Lambda})}$. Lze definovat kvantový analog ekv. (2) podle

${displaystyle S (A: B) = S (varrho _ {A}) + S (varrho _ {B}) - S (varrho _ {A, B}),}$,

Rovnice (4)

a kvantový analog ekv. (3) od

${displaystyle S (A: B | Lambda) = S (varrho _ {A, Lambda}) + S (varrho _ {B, Lambda}) - S (varrho _ {Lambda}) - S (varrho _ {A, B , Lambda}),}$.

Rovnice (5)

To lze ukázat ${displaystyle S (A: B | Lambda) geq 0}$. Tato nerovnost se často nazývá silná subadditivita vlastnost kvantové entropie.

Zvažte tři náhodné proměnné ${displaystyle A, B, Lambda}$ s distribucí pravděpodobnosti ${displaystyle P_ {A, B, Lambda} (a, b, lambda)}$, kterou budeme zkracovat jako ${displaystyle P (a, b, lambda)}$. Pro ty speciální ${displaystyle P (a, b, lambda)}$ formuláře

${displaystyle P (a, b, lambda) = P (a | lambda) P (b | lambda) P (lambda),}$,

Rovnice (6)

Obr.1: Bayesiánská síťová reprezentace rovnice (6)

lze to ukázat ${displaystyle H (A: B | Lambda) = 0}$. Distribuce pravděpodobností ve tvaru Rovnice (6) jsou ve skutečnosti popsány v Bayesovská síť znázorněno na obr.1.

Dá se definovat klasické zapletení CMI pomocí

${displaystyle E_ {CMI} (P_ {A, B}) = min _ {P_ {A, B, Lambda} v K} H (A: B | Lambda)}$,

Rovnice (7)

kde ${displaystyle K}$ je množina všech rozdělení pravděpodobnosti ${displaystyle P_ {A, B, Lambda}}$ ve třech náhodných proměnných ${displaystyle A, B, Lambda}$, takový, že ${displaystyle sum _ {lambda} P_ {A, B, Lambda} (a, b, lambda) = P_ {A, B} (a, b),}$pro všechny ${displaystyle a, b}$. Protože, vzhledem k rozdělení pravděpodobnosti ${displaystyle P_ {A, B}}$, lze jej vždy rozšířit na rozdělení pravděpodobnosti ${displaystyle P_ {A, B, Lambda}}$ který splňuje ekv. (6)^{[Citace je zapotřebí ]}z toho vyplývá, že klasické zapletení CMI, ${displaystyle E_ {CMI} (P_ {A, B})}$, je nula pro všechny ${displaystyle P_ {A, B}}$. Skutečnost, že ${displaystyle E_ {CMI} (P_ {A, B})}$ vždy zmizí, je důležitou motivací pro definici ${displaystyle E_ {CMI} (varrho _ {A, B})}$. Chceme míru kvantového zapletení, která zmizí v klasickém režimu.

Předpokládat ${displaystyle w_ {lambda}}$ pro ${displaystyle lambda = 1,2, ..., dim (Lambda)}$ je sada nezáporných čísel, která sčítají až jedno, a ${displaystyle | lambda angle}$ pro ${displaystyle lambda = 1,2, ..., dim (Lambda)}$ je ortonormální základ pro Hilbertův prostor spojený s kvantovým systémem ${displaystyle Lambda}$. Předpokládat ${displaystyle varrho _ {A} ^ {lambda}}$ a ${displaystyle varrho _ {B} ^ {lambda}}$, pro ${displaystyle lambda = 1,2, ..., dim (Lambda)}$ jsou matice hustoty pro systémy ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$, resp. Je možné ukázat, že následující matice hustoty

${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda} = součet _ {lambda} varrho _ {A} ^ {lambda} varrho _ {B} ^ {lambda} w_ {lambda} | lambda angle langle lambda |,}$

Rovnice (8)

splňuje ${displaystyle S (A: B | Lambda) = 0}$. Rovnice (8) je kvantovým protějškem rovnice (6). Trasování matice hustoty rovnice (8) ${displaystyle Lambda}$, dostaneme ${displaystyle varrho _ {A, B} = součet _ {lambda} varrho _ {A} ^ {lambda} varrho _ {B} ^ {lambda} w_ {lambda},}$, což je oddělitelný stav. Proto, ${displaystyle E_ {CMI} (varrho _ {A, B})}$ dané rovnicí (1) zmizí pro všechny oddělitelné stavy.

Když ${displaystyle varrho _ {A, B}}$ je čistý stav, jeden dostane${displaystyle E_ {CMI} (varrho _ {A, B}) = S (varrho _ {A}) = S (varrho _ {B})}$. Souhlasí s definicí zapletení formace pro čisté stavy, jak je uvedeno v Ben96.

Dále předpokládejme ${displaystyle | psi _ {A, B} ^ {lambda} úhel}$ pro ${displaystyle lambda = 1,2, ..., dim (Lambda)}$ jsou některé stavy v Hilbertově prostoru spojené s kvantovým systémem ${displaystyle (A, B)}$. Nechat ${displaystyle K}$ být množina matic hustoty definovaných dříve pro rovnici (1). Definovat ${displaystyle K_ {o}}$ být množinou všech matic hustoty ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ to jsou prvky ${displaystyle K}$ a mít speciální formulář ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda} = součet _ {lambda} | psi _ {A, B} ^ {lambda} úhel langle psi _ {A, B} ^ {lambda} | w_ {lambda} | lambda úhel langle lambda |,}$. Je možné ukázat, že pokud nahradíme v rovnici (1) množinu ${displaystyle K}$ jeho vlastní podmnožinou ${displaystyle K_ {o}}$, pak rovnice (1) redukuje na definici zapletení formace pro smíšené stavy, jak je uvedeno v Ben96. ${displaystyle K}$ a ${displaystyle K_ {o}}$ představují různé stupně znalostí o tom, jak ${displaystyle varrho _ {A, B, Lambda}}$ byl vytvořen. ${displaystyle K}$ představuje úplnou nevědomost.

Protože zapletení CMI se snižuje na zapletení formace pokud jeden minimalizuje přes ${displaystyle K_ {o}}$ namísto ${displaystyle K}$, jeden očekává, že CMI zapletení zdědí mnoho žádoucích vlastností od zapletení formace.

Dějiny

Důležitá nerovnost ${displaystyle S (A: B | Lambda) geq 0}$ poprvé prokázali Lieb a Ruskai v LR73.

Klasické CMI, dané rovnicí (3), poprvé zadáno teorie informace tradice, krátce po Shannonově klíčové práci z roku 1948 a minimálně již v roce 1954 v McG54. Kvantová CMI, daná rovnicí (5), byla poprvé definována Cerfem a Adami v roce Cer96. Zdá se však, že Cerf a Adami si neuvědomili vztah CMI k zapletení nebo možnost získat míru kvantového zapletení na základě CMI; to lze odvodit například z pozdějšího příspěvku, Cer97, kde se snaží použít ${displaystyle S (A | B)}$ místo CMI porozumět zapletení. Zdá se, že první dokument, který výslovně poukazuje na souvislost mezi CMI a kvantovým zapletením Tuc99.

Konečná definice rovnice (1) zapletení CMI byla poprvé dána Tuccim v sérii 6 článků. (Viz například rovnice (8) z Tuc02 a rovnice (42) ze dne Tuc01a). v Tuc00b, poukázal na klasickou pravděpodobnostní motivaci rovnice (1) a její souvislost s definicemi zapletení formace pro čisté a smíšené stavy. v Tuc01a, představil algoritmus a počítačový program založený na Metoda Arimoto-Blahut teorie informace, pro numerický výpočet zapletení CMI. v Tuc01b, analyticky vypočítal zapletení CMI pro smíšený stav dvou qubits.

v Seno03Hayden, Jozsa, Petz a Winter zkoumali souvislost mezi kvantovou CMI a oddělitelnost.

To však nebylo až Chr03, že bylo prokázáno, že zapletení CMI je ve skutečnosti zapletením, tj. že se nezvyšuje v rámci Local Operations and Classical Communication (LOCC). Důkaz upraven Ben96 argumenty o zapletení formace. v Chr03, také prokázali mnoho dalších zajímavých nerovností týkajících se zapletení CMI, včetně toho, že se jedná o aditivum, a zkoumali jeho souvislost s dalšími opatřeními zapletení. Název zmáčknuté zapletení poprvé se objevil v Chr03. v Chr05Christandl a Winter analyticky vypočítali zapletení CMI některých zajímavých států.

v Ali03Alicki a Fannes prokázali kontinuitu zapletení CMI. v BCY10„Brandao, Christandl a Yard ukázali, že zapletení CMI je nulové právě tehdy, když je stát oddělitelný. v Hua14, Huang dokázal, že výpočet zmáčknutého zapletení je NP-hard.

Reference

• Ali03 Alicki, R .; Fannes, M. (2003). "Kontinuita kvantové vzájemné informace". J. Phys. A. 37 (55): L55 – L57. arXiv:quant-ph / 0312081. Bibcode:2004JPhA ... 37L..55A. doi:10.1088 / 0305-4470 / 37/5 / L01.
• BCY10 Brandao, F .; Christandl, M .; Yard, J. (září 2011). "Věrné zmáčknuté zapletení". Komunikace v matematické fyzice. 306 (3): 805–830. arXiv:1010.1750. Bibcode:2011CMaPh.306..805B. doi:10.1007 / s00220-011-1302-1.
• Ben96 Bennett, Charles H .; DiVincenzo, David P .; Smolin, John A .; Wootters, William K. (1996). "Zapletení smíšeného stavu a oprava kvantové chyby". Fyzický přehled A. 54 (5): 3824–3851. arXiv:quant-ph / 9604024. Bibcode:1996PhRvA..54,3824B. doi:10.1103 / PhysRevA.54.3824. PMID  9913930.
• Cer96 Cerf, N.J .; Adami, C. (1996). "Kvantová mechanika měření". arXiv:quant-ph / 9605002.
• Cer97 Cerf, N.J .; Adami, C .; Gingrich, R. M. (1999). "Kvantový podmíněný operátor a kritérium oddělitelnosti". Fyzický přehled A. 60 (2): 893–898. arXiv:quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..893C. doi:10.1103 / PhysRevA.60.893.
• Chr03 Matthias Christandl; Andreas Winter (2003). ""Squashed Entanglement ": Aditive Entanglement Measure". Journal of Mathematical Physics. 45 (3): 829–840. arXiv:quant-ph / 0308088. Bibcode:2004JMP .... 45..829C. doi:10.1063/1.1643788.
• Chr05 Matthias Christandl; Andreas Winter (2005). „Nejistota, monogamie a blokování kvantových korelací“. Transakce IEEE na teorii informací. 51 (9): 3159–3165. arXiv:quant-ph / 0501090. doi:10.1109 / TIT.2005.853338.
• Chr06 Matthias Christandl (2006). „Struktura bipartitních kvantových stavů - poznatky z teorie skupin a kryptografie“. arXiv:quant-ph / 0604183. Cambridge disertační práce.
• Seno03 Patrick Hayden; Richard Jozsa; Denes Petz; Andreas Winter (2004). "Struktura států, které uspokojují silnou subadditivitu kvantové entropie s rovností". Komunikace v matematické fyzice. 246 (2): 359–374. arXiv:quant-ph / 0304007. Bibcode:2004CMaPh.246..359H. doi:10.1007 / s00220-004-1049-z.
• Hua14 Huang, Yichen (21. března 2014). „Výpočet kvantové neshody je NP-úplný“. New Journal of Physics. 16 (3): 033027. arXiv:1305.5941. Bibcode:2014NJPh ... 16c3027H. doi:10.1088/1367-2630/16/3/033027.
• LR73 Elliott H. Lieb, Mary Beth Ruskai, „Důkaz silné subadditivity kvantově-mechanické entropie“, Journal of Mathematical Physics 14 (1973) 1938-1941.
• McG54 W. J. McGill, „Multivariační přenos informací“, IRE Trans. Info. Teorie 4 (1954) 93-111.
• Tuc99 Tucci, Robert R. (1999). "Kvantové zapletení a podmíněný přenos informací". arXiv:quant-ph / 9909041.
• Tuc00a Tucci, Robert R. (2000). "Oddělitelnost matic hustoty a podmíněný přenos informací". arXiv:quant-ph / 0005119.
• Tuc00b Tucci, Robert R. (2000). "Zapletení do formace a podmíněný přenos informací". arXiv:quant-ph / 0010041.
• Tuc01a Tucci, Robert R. (2001). "Relaxační metoda pro výpočet kvantového zapletení". arXiv:quant-ph / 0101123.
• Tuc01b Tucci, Robert R. (2001). "Zapletení směsí Bellů dvou Qubits". arXiv:quant-ph / 0103040.
• Tuc02 Tucci, Robert R. (2002). "Zapletení destilace a podmíněné vzájemné informace". arXiv:quant-ph / 0202144.

externí odkazy

• Věrné zmáčknuté zapletení