v algebraická geometrie, motivická funkce zeta a hladká algebraická rozmanitost
je formální mocenské řady
![{displaystyle Z (X, t) = součet _ {n = 0} ^ {infty} [X ^ {(n)}] t ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552d3e2a314451de664723246abfeb2bb4c9242c)
Tady
je
-th symetrická síla
, tj. kvocient z
působením symetrická skupina
, a
je třída
v kruhu motivů (viz níže).
Pokud pozemní pole je konečný a jeden použije počítací míru
, jeden získá místní funkce zeta z
.
Pokud je pozemní pole komplexními čísly, platí jedno Eulerova charakteristika s kompaktními podpěrami do
, jeden získá
.
Motivační opatření
A motivická míra je mapa
ze sady konečného typu schémata přes pole
komutativní prsten
, splňující tři vlastnosti
záleží pouze na třídě izomorfismu
,
-li
je uzavřeným podsystémem
,
.
Například pokud
je konečné pole a
je tedy kruh celých čísel
definuje motivické opatření, počítání opatření.
Pokud jsou základním polem komplexní čísla, pak Eulerova charakteristika s kompaktními podpěrami definuje motivickou míru s hodnotami v celých číslech.
Funkce zeta s ohledem na motivickou míru
je formální mocenská řada v
dána
.
Tady je univerzální motivické opatření. Získává hodnoty v K-kruhu odrůd,
, což je prsten generovaný symboly
, pro všechny odrůdy
, s výhradou vztahů
-li
a
jsou izomorfní,
-li
je uzavřená podrodina
,
.
Z univerzální motivické míry vychází motivická funkce zeta.
Příklady
Nechat
označují třídu afinní linie.
![{displaystyle Z ({mathbb {A}} ^ {n}, t) = {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {n} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9827bed93fa5b3fa33d36b26a1390b69bc2bba0)
![{displaystyle Z ({mathbb {P}} ^ {n}, t) = prod _ {i = 0} ^ {n} {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {i} t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d34f76456179830e18395e5d0dc0c36f3b06fad)
Li
je hladký projektivní neredukovatelný křivka z rod
připouští a svazek řádků stupně 1 a motivická míra nabývá hodnot v oboru, ve kterém
je tedy invertibilní
![{displaystyle Z (X, t) = {frac {P (t)} {(1-t) (1- {mathbb {L}} t)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861f8e878ab617d324b92bfebcbfc81f298a3b33)
kde
je polynom stupně
. V tomto případě tedy existuje motivická funkce zeta Racionální. Ve vyšší dimenzi není motivická funkce zeta vždy racionální.
Li
je hladký povrch přes algebraicky uzavřené pole charakteristik
, pak generující funkce pro motivy Hilbertovy schémata z
lze vyjádřit pomocí motivické funkce zeta pomocí Göttsche Vzorec
![{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [S ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} Z (S, {mathbb {L}} ^ {m-1} t ^ {m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a19ff1427afa3d035207d5341997302642872c)
Tady
je Hilbertovo schéma délky
podsystémy
. Pro afinní rovinu dává tento vzorec
![{displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} [({mathbb {A}} ^ {2}) ^ {[n]}] t ^ {n} = prod _ {m = 1} ^ {infty} {frac {1} {1- {mathbb {L}} ^ {m + 1} t ^ {m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd02b76ef72f98ff2a3b04825bf29e9352be7df)
To je v zásadě funkce oddílu.